信息技术应用 收集数据并建立函数模型教案评析

二次函数及其性质的应用

【考点精讲】

1. 二次函数的图象和性质

图象

函数性质

定义域

x∈R（个别题目有限制的，由解析式确定）

a>0 a>0 a<0 值域

4ac－b24ac－b2y∈[4a，＋∞）

y∈（－∞，4a] b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非奇偶性

偶函数

a>0

a<0

bbx∈（－∞，－2a]时x∈（－∞，－2a]时递增

单调性

递减

a<0 bbx∈（－2a，＋∞）x∈（－2a，＋∞）时递增

时递减

b①对称轴：x＝－2a

图象特2b4ac－b点

②顶点：（－2a，4a）

2. 二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c

（a≠0），当Δ＝b2－4ac>0时，Δ图象与x轴有两个交点M1（x1，0）、M2（x2，0），|M1M2|＝|x1－x2|＝|a|。

【典例精析】

例题1

已知函数y＝x2－4x－5，求：

（1）x∈R时函数的值域；

（2）x∈{－1，0，1，2，3，4}时的函数值域；

（3）x∈［－2，1］时函数的值域。

思路导航：函数值域是由定义域与其对应关系确定的，在求函数有关问题时，始终要把握好“定义域优先”的原则，注意二次函数的特定区间求值域。

解：（1）x∈R，y＝x2－4x－5＝（x－2）2－9，值域为［－9，＋∞）。. （2）当x＝－1时，y＝（－1）2－4×（－1）－5＝0；

当x＝0时，y＝－5；

当x＝1时，y＝12－4×1－5＝－8；

当x＝2时，y＝22－4×2－5＝－9；

当x＝3时，y＝32－4×3－5＝－8；

当x＝4时，y＝42－4×4－5＝－5。

∴当x∈{－1，0，1，2，3，4}时函数y＝x2－4x－5的值域为{－9，－8，－5，0}。

（3）当x∈［－2，1］时的图象如图所示，由二次函数的性质可知函数y＝x2－4x＋5在x∈［－2，1］上的最小值为ymin＝12－4×1－5＝－8，最大值为ymax＝（－2）2－4×（－2）－5＝7。

∴其值域为［－8，7］。

答案：（1）［－9，＋∞）

（2）{－9，－8，－5，0}

（3）［－8，7］

点评：1. 求函数的值域应遵循“定义域优先”的原则。

2. 求二次函数的值域要结合二次函数的图象求其值域。

例题2

已知函数f（x）＝x2＋ax＋3在区间［－1，1］上的最小值m为－3，求实数a的取值。

思路导航：所给二次函数的对称轴x＝－是变化的，而区间是固定的，因而只需确定二次函数对称轴与区间的关系，即可求得a的取值范围。

a2a2f（x）＝（x＋）＋3－，开口向上，区间［－1，1］确定，42a对称轴x＝－随a变化。

2a（1）当－＜－1，即a＞2时，作草图（Ⅰ）。

2a2f（x）在［－1，1］上是增函数，所以m＝f（－1）＝－3，得1－a＋3＝－3。

所以a＝7。

（2）当－＞1，即a＜－2时，作草图（Ⅱ）。

f（x）在［－1，1］上是减函数，m＝f（1）＝1＋a＋3＝－3，

所以a＝－7。

（3）当－1≤－≤1，即－2≤a≤2时，作草图（Ⅲ）.此时，a2a对称轴在区间［－1，1］内，所以m＝f（－）＝3－＝－3，得42a＝±26，这与－2≤a≤2矛盾，舍去。因此所求的实数a＝－7或a2a27。

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

答案：实数a＝－7或7。

点评：利用函数图象求函数的最值注意区间与对称轴的关系。

例题3

设a为实数，函数f（x）＝2x2＋（x－a）|x－a|。

（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；

（2）求f（x）的最小值；

思路导航：（1）求a的取值范围，是寻求关于a的不等式，解不等式即可。（2）求f（x）的最小值，由于f（x）可化为分段函数，分别求出各分段函数的最值，然后综合在一起。

（1）因为f（0）＝－a|－a|≥1，所以－a>0，

即a<0，由a2≥1知a≤－1，

因此，a的取值范围为（－∞，－1]。

（2）记f（x）的最小值为g（a），则有

f（x）＝2x2＋（x－a）|x－a| a2223(x)a,(xa)①

33x22axa2,(xa)②

（ⅰ）当a≥0时，f（－a）＝－2a2，

由①②知f（x）≥－2a2，此时g（a）＝－2a2。

a2222（ⅱ）当a<0时，f3＝3a，若x>a，则由①知f（x）≥3a。

若x≤a，由②知f（x）≥－2a2此时g（a）＝－2a2

综上，得g（a）＝－2a2。

答案：（1）a的取值范围为（－∞，－1]。

（2）f（x）的最小值为g（a）＝－2a2。

点评：分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一，本题充分体现了分类讨论的思想方法。

在解答本题时有两点容易造成失分：

（1）求实数a的值时，讨论的过程中需注意a自身的取值范围；

（2）求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论。

除此外，解决函数问题时，以下几点容易造成失分：

（1）含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误；

（2）分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出大小关系；

（3）解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻。

【总结提升】

1. 求二次函数在闭区间上的最值的方法：一看开口方向；二看对称轴在区间的相对位置，简称“两看法”。只需作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合法就可以得到问题的解。

2. 运用这个方法，同样可以解决对称轴确定而区间变化的问题，甚至开口方向、对称轴、区间同时都在变化的问题。

当对称轴在给定区间的左侧时，它是增函数，它的最值点在区间的两个端点处取得。

当对称轴在给定区间的右侧时，它是减函数，它的最值点在区间的两个端点处取得。

当对称轴在给定区间内时，在对称轴处取一个最值，在离对称轴较远处取得另一最值。

二次函数在闭区间上的最值问题，只有反复的训练，才能真正掌握利用简单原理解决复杂问题的本领。

二次函数及其性质的应用

1. 函数fxax2bx3在,1上是增函数，在1,上是减函数，则（

）

A. b0且a0

B. b2a0

C. b2a0

D. b,a的符号不定

2. 已知函数fxm1x22mx3为偶函数，则fx在区间5,2上是（

）

A. 增函数

B. 减函数

C. 部分增部分减

D. 无法确定单调性

3. 若二次函数f(x)2ax24a2xb对任意的实数ｘ都满足f(3x)f(3x)，则实数ａ的值为

（

）

A. 33

B. －

C. －3

D. 3 224. 在同一坐标系内，函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c的图象只可能是（

）

5. 已知f（x）为二次函数，其图象顶点为（1，3），且过原点，求f（x）。

6. 已知二次函数fxx22x3，试求：

（1）当x2,0时，求fx的最值；

（2）当x2,3时，求fx的最值；

（3）当xt,t1时，求fx的最小值gt

7. 已知函数f（x）=x2－4ax+2a+6（a∈R）。

（1）若函数的值域为[0，+∞），求a的值；

（2）若函数值为非负数，求函数f（a）=2－a|a+3|的值域。

二次函数及其性质的应用

1. B

解析：二次函数的图象开口向下，所以a<0，根据对称轴x＝－1，得到b＝2a。

2. A

解析：因为二次函数是偶函数，所以m＝0，所以二次函数的图象开口向下，在x<0时都是递增的。

3. D

解析：由二次函数的对称轴x＝3，得到a＝3。

4. B

解析：一次函数递增，则二次函数图象开口向上，一次函数与y轴的交点的正负，决定二次函数的对称轴。

5. f（x）＝－3x2＋6x。

解析：解法一：由于图象的顶点是（1，3），

故设f（x）＝a（x－1）2＋3（a≠0）。

∵图象过原点（0，0），

∴a＋3＝0，∴a＝－3。

故f（x）＝－3（x－1）2＋3。

解法二：设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），

依题意得4ac－b4a＝3，c＝0.2b－2a＝1，

b＝－2a，2即b＝－12a，c＝0.

a＝－3，解得b＝6，c＝0.6. （1）3,11；（2）2,11；

（3）当t<0时，g（t）＝t2＋2 当01时，g（t）＝t2－2t＋3 解析：（1）当x＝0时取最小值y＝3，当x＝－2时取最大值y＝11，

（2）当x＝1时取最小值y＝2，当x＝－2时取最大值y＝11。

（3）需要分类讨论，即当t,t1在对称轴左侧，在对称轴右侧，在这个区间中包括对称轴三种情况进行讨论。

7. 解：（1）∵函数的值域为[0，+∞），即二次函数f（x）=x2－4ax+2a+6图象不在x轴下方，∴△=0，即16a2－4（2a+6）=0，∴2a2－a－3=0，

∴f（x）＝－3x2＋6x。

解得：a=－1或a=。

（2）由（1）知，对一切x∈R函数值均为非负数，

有△≤0，即－1≤a≤；∴a+3＞0，

∵f（a）=2－a|a+3|=－a2－3a+2=－(a+)2+3232173，其中 (a∈[－1，])；

243232∴二次函数f（a）在[－1，]上单调递减。

∴f()≤f（a）≤f（－1），即－∴f（a）的值域为[－19，4]。

43219≤f（a）≤4，

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