习题3.1主要内容及教案内容

§3.1.1方程的根与函数的零点

河北省卢龙县潘庄中学（066400）

王文合

【教材分析】

本节是在学习完成函数的性质和几个常见的函数类型以后学习的，它对函数的性质和常见的函数类型起着深化提高的作用，又是后续学习的基础，本节的内容建立在二次函数和二次方程的关系上研究的，同时它又是新课标独立出来的一节，内容重要。

一、教学目标

知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．

过程与方法：零点存在性的判定．

情感态度与价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

二、教学重点

（1）对函数零点的概念理解

（2）函数零点存在性的判定

三、教学难点

函数零点的存在性的确定

四、课型

新授课

【教学过程】

一、创设情景：

先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

21方程x2x30与函数yx2x3

○22方程x2x10与函数yx2x1

○23方程x2x30与函数yx2x3

○222

教师通过引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，学生在教师的引导下，独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

二、引导探究：

1.函数的零点

由特殊的几个一元二次方程与相应的二次函数图像，学生们总结的结论为：

一元二次方程的根与相应的二次函数图像与x轴交点的横坐标是相等的。

上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？引导学生继续深入的思考，这种由特殊到一般的推理是否正确？引导学生仔细体会，感悟其中的思想方法．

引导探究：推广的一般的一元二次方程ax2bxc0(a0)与相应的二次函数

yax2bxc(a0)．

１）△＞０，方程axbxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点；

２）△＝０，方程axbxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点（两个重合的交点）；

３）△＜０，方程axbxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点。

引导学生验证同学们总结的结论的正确性。并组织学生归纳总结，教师适时点拨，给出零点的定义。

一元二次方程的根与相应的二次函数图像与x轴交点的横坐标是相等的。

函数的零点：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数222yf(x)(xD)的零点．

教师趁热打铁组织学生加强对定义的理解，并回顾总结函数零点的探索过程和体验加深对函数零点的认识和理解，教师继续引导学生探究，使认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法，组织学生根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

2.函数零点的求法

教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．学生结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．

（Ⅰ）观察二次函数f(x)x2x3的图象：

1

在区间[2,1]上有零点______；

○2f(2)_______，f(1)_______, f(2)·f(1)_____0（＜或＞）．

2

在区间[2,4]上有零点______；

○f(2)·f(4)____0（＜或＞）．

（Ⅱ）观察下面函数yf(x)的图象

1

在区间[a,b]上______(有/无)零点；

○．

f(a)·f(b)_____0（＜或＞）2

在区间[b,c]上______(有/无)零点；

○．

f(b)·f(c)_____0（＜或＞）3

在区间[c,d]上______(有/无)零点；

○f(c)·f(d)_____0（＜或＞）．

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？

组织学生总结刚才探索所发现的结论，并加以讨论，形成集体的意见。

三、归纳应用：

1．归纳总结

（1）函数零点：

函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标．即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

（2）函数的零点存在性的结论

如果函数yf(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且满足f(a)·f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根。

引导学生进行总结知识要点，使得学生学会抓住主要问题和问题的主要部分进行学习。

2．例题精析

例1．求函数f(x)lnx2x6的零点个数．

引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．

问题：

1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

例2．求函数yx32x2x2零点，并画出它的大致图象．

3.跟踪训练

1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

（1）x3x50；

（2）2x(x2)3；

（3）x4x4；

（4）5x2x3x5．

2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：

（1）f(x)x33x5；

（2）f(x)2xln(x2)3；

（3）f(x)ex14x4；

（4）f(x)3(x2)(x3)(x4)x．

4．学后反思：

4321．已知f(x)2x7x17x58x24，请探究方程f(x)0的根．如果方程2222有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．

2．设函数f(x)2ax1．

（1）利用计算机探求a2和a3时函数f(x)的零点个数；

（2）当aR时，函数f(x)的零点是怎样分布的？

x

本部分的设计主要是通过学习同学都掌握了基本的知识，而进行的深化和提高，使得学生的思维进一步深化。培养学生爱思考的习惯。

5．总结解题方法

（1）零点的含义

（2）零点的求法：求函数yf(x)的零点：

①（代数法）求方程f(x)0的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，

并利用函数的性质找出零点．

本环节主要是课上总结，使得这一节的知识点明朗、清晰化，使学生掌握起来更容易。

四、巩固深化：

这个设计主要是自习课的强化作用，目的是强化解题过程，使学生在练的过程中熟练掌握本节知识。

课下完成课本习题

1．

教材P108习题3．1（A组）第1、2题；

2．

求下列函数的零点：

（1）yx25x4；

（2）yx2x20；

（3）y(x1)(x23x1)；

（4）f(x)(x22)(x23x2)．

3．

求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：

（1）y12x2x1；

3（2）y2x24x1．

4．

已知f(x)2(m1)x4mx2m1：

（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点；

（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m的值．

2

课外研究：

2研究yaxbxc，axbxc0，axbxc0，axbxc0的相互222关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达．

课外研究的设计主要是开发学生的兴趣和爱好，留一个有讨论意义的题目学生分组讨论，在没有压力的状态下学生发挥的更好。

【板书设计】

归纳应用：

创设情景

先来观察几个具体的

一元二次方程的根及其例题精析：

相应的二次函数的图象 例1．求函数

结论：

方程的根与函数的零点

解题方法总结：

学生板演区：

f(x)lnx2x6的零点个数．

【收获与感悟】

简述上完这节课的一些经验和教训，写一点简短的反思，有助于业务的提高。