习题1.2教学设计与反思

函数图像的应用

玉门市第一中学

王尚荣

教学目标：通过数与形结合来分析思考问题，体会利用函数图像解决问题的要点，从而感悟数形结合的思想，提高解决问题的能力。

教学重点：准确画出函数图像，体会利用函数图像解决问题的要点。

教学难点：如何找到“临界点”。

教学过程：

师：我们先看一个问题。

.30.3比较：0.32,log02,2的大小。

师：请思考比较这三个数的大小从代数角度出发有哪些方法？

生：可算值，可估范围，还可引进中间量比大小。

师：几何角度呢？

x生：可画出函数y0.3x,ylog2,y2x的图像，在图中找出三个值对应的点，通过点的高低比大小。

师：我们发现利用函数图像，可使复杂问题直观，抽象问题形象具体。这节课的重点就是体会、理解如何运用图像解决一些较复杂问题。

例1、已知偶函数f(x)在0,上单调递减，f(2)0，若f(x1)0，则x的取值范围__________. 师：请一位同学给大家分析条件。

生：偶函数图像关于y轴对称，f(x)在0,上单调递减，则在-，0上单调递增，f(2)0f(2)，那么f(x)的图像如下：

而f(x-1)的图像是由f(x)的图像向右平移一个单位得到的，所以由图像可知f(x1)0的取值范围是（-1,3）. 师：我们看到利用函数图像可以解不等式。那么应用时根据性质准确画出图像，还要找准“临界点”。本题的临界点就是图像与x轴的交点。

x，x≤a，例2、[2015·湖南高考]已知函数f(x)＝2x，x＞a.3

若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．

师：本题给出了存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点。你会转化吗？

生1：这个条件可转化为函数f(x)的图像与直线y＝b有两个交点。

师：很显然本题就是要根据函数f(x)的图像与直线y＝b有两个交点这一条件求参数的范围。

下面我们一起来分析函数f(x)。

32师：函数f(x)分两段，x《a时y=x,x>a时y=x.显然图像的分界线就是x=a，在x=a的左边3232是y=x的图像，在x=a的右边是y=x图像。先看看这两个函数y=x,y=x图像。

2由图可知，函数y=x,y=x有两个交点（0,0）,（1,1），分段函数f(x)中参数a能否等于0或者1呢？

生：不能。当a=0或者1时，分段函数f(x)的图像如下：

3

师：所以a的取值只能在a＜0，0

由图可知图1和图3符合函数图像与直线y＝b有两个交点这一条件，图2不符合。实数a的取值范围是a＜0或a＞1. 师：本题是有关函数零点问题。解决时依然要根据性质准确画出图像，还要找准“临界点”。32本题的临界点就是y=x,y=x图像的交点

例3、方程1x2xa有两个不相等实根，求a的最小值。

师：本题是根据方程的根的个数求参数的最小值，如何判断方程根的个数？

生：可转化为两个函数图像的交点。右边可看作函数y=x-a,一条直线。左边可看作函数y1x2不知道图像是怎样的。

师：好我们重点研究函数y1x2图像，能不能做等价转化去根号？

22y0

生：可以，两边平方得y1x，师：绝对值能去吗？

生：可以，去绝对值后得，y1x2222xy1,y01x12

2xy1,y0x1或x1第一段是圆的上半部分，第二段是双曲线的上半部分，图像如下：

y=x-a与双曲线的渐近线平行。找到5个临界状态，要使a最小，则直线的斜率最大，所以只需y=x-a与圆相切即可，所以a2。

师：本题的临界点就是函数图像与直线的交点。

师：通过以上三个题目我们发现，在利用图像解决较复杂问题时要把握两点：1、准确画出图像。2、找准“临界点”，找到解题的突破口。

练习1、[2015·北京高考]设函数

2xa,x1f(x)＝

4xax2a,x1(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；

(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．

2－1，x<1，[解析] (1)若a＝1，则f(x)＝4x－1x－2xx≥1，

作出函数f(x)的图象如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1.

(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足2－a≤0，即a≥2，所以a≥2；当a<1a<1≤2a，时，要使f(x)恰有2个零点，需满足12－a>0，1

21解得≤a<1. 21综上，实数a的取值范围为，1∪[2，＋∞)．

2

练习2、[2016·山东高考]已知函数f(x)＝|x|，x≤m，x－2mx＋4m，x>m，

其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

[解题视点] 画出函数图象，合理寻找“临界”情况，探究实数m满足的条件，从而确定m的取值范围．

[解析] 函数f(x)的大致图象如图所示，根据题意知只要m>4m－m即可，又m>0，解得m>3，故实数m的取值范围是(3，＋∞)．

2

[答案] (3，＋∞)

小结：本节课我们探讨了利用函数图像解决问题时要怎样用？我们看到，无论在哪种场合用关键就是要准确画出图像，还要找准“临界点”。