习题2.2ppt课件教学实录

人教版高三第一轮复习数学教案

孟繁露

高三第一轮复习数学---函数的图象

一、教学目标：1．熟练掌握基本函数的图象；

2．能正确地从函数的图象特征去讨论函数的主要性质；

3．能够正确运用数形结合的思想方法解题．

二、教学重点：熟练基本函数的图象并掌握图象的初等变换．

三、教学过程：

（一）主要知识：

一、作函数图象的基本方法有两种：

（1）

描点法：1、先确定函数定义域，讨论函数的性质（奇偶性，单调性，周期性）

2、列表（注意特殊点，如：零点，最大最小，与轴的交点）

3、描点，连线

如：作出函数yx1的图象．

x：（左正右负，上正下负）即（2）

图象变换法：利用基本初等函数变换作图

1、

平移变换0,右移;h0,左移yf(x)hyf(xh)yf(x)yf(x)kx轴yf(x)yf(x)y轴yf(x)yf(x)k0,下移;k0,上移

2、

对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）

yf(x)原点yf(x)yxyf(x)yf1(x)y轴右边不变，左边为右边部分的对称图yf(x)yf(x)x轴上方图，将x轴下方图上翻yf(x)保留yf(x)1仍一点的横坐标变为原来的倍

yf(x)

3、

伸缩变换：yf(x)来的A倍yf(x)仍一点的纵坐标变为原yAf(x)二、图象对称性的证明：注意区别一个图象，还是两个图象

（1）、证明函数图象的对称性：图象上任一点关于对称轴（对称点）的对称点仍在图象上

（2）、证明两个图象C1C2的对称性：证C1上任意点关于对称轴（对称点）的对称点在C2图象上，反之也对

三、有关结论：

（1）

若f(a+x)=f(a-x)，x∈R恒成立，则y=f(x)关于x=a对称

（2）

若f(a+x)=f(b-x)，x∈R恒成立，则y=f(x)关于x=(a+b)/2对称

（3）

若f(a+x)= -f(a-x)，x∈R恒成立，则y=f(x)关于点（a，0）对称

（4）

函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=(b-a)/2对称

（5）

若定义在R上的函数f(x) 关于x=a和x=b(b>a)对称，则y=f(x)为周期函数，2b-2a为它的周期（未必最小正周期）

（6）

函数y=f(x)关于y= -x对称的函数为-x=f(-y)即y= - f -1(-x) 第

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四、关于周期、

1、

f(x+a)=f(x)

(a≠0)→T=a 2、

f(x-a)=f(x+a) (a≠0)→T=2a 3、

f(x-a)= -f(x) (a≠0)→T=2a 4、

f(x-a)= -1

(a≠0)→T=2a f(x)5、

f(x)关于直线x=a对称，且为偶函数→T=2a

（二）主要方法：

1．平移变换：（1）水平平移：函数yf(xa)的图像可以把函数yf(x)的图像沿x轴方向向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位即可得到；

（2）竖直平移：函数yf(x)a的图像可以把函数yf(x)的图像沿x轴方向向上(a0)或向下(a0)平移|a|个单位即可得到．

2．对称变换：（1）函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于y轴对称即可得到；

（2）函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于x轴对称即可得到；

（3）函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于原点对称即可得到；

（4）函数yf1(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于直线yx对称得到．

3．翻折变换：（1）函数y|f(x)|的图像可以将函数yf(x)的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留yf(x)的x轴上方部分即可得到；

（2）函数yf(|x|)的图像可以将函数yf(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留yf(x)在y轴右边部分即可得到．

4．伸缩变换：（1）函数yaf(x)(a0)的图像可以将函数yf(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a1)或压缩（0a1）为原来的a倍得到；

（2）函数yf(ax)(a0)的图像可以将函数yf(x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a1)或压缩（0a1）为原来的（三）例题分析：

例1、作出函数ylog21x的图象，并说明与函数y=log 2x的图象的关系

解：变换过程:ylog2xylog2x1ylog2x1ylog21x

或ylog2xylog2xylog2x1ylog21x

或ylog2xylog2xylog2x1ylog21x

1倍得到．

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『变式』已知函数y=2x的图象，如何作下列函数的图象：

2x111y22;2y21x2;3ylog2x;4y2x1

[评析]已知函数的图象，运用平移、伸缩、对称变换作相关函数的图象，关键是分析两函数解析式的结构特征，寻找x之间、y之间的变化关系；等价化简解析式时，容易忽略定义域和值域。

例2设函数y=f(x)的定义域为Ｒ，则函数y=f(x-1)与y=(1-x)的图象关系为(

) Ａ、直线y=0对称

Ｂ、直线x=0对称

Ｃ、直线y=1对称

Ｄ、直线x=1对称

解法一：设（x1,y1）是y=f(x-1)图象上任意一点，则y1=f(x 1-1) 而f(x 1-1)= f[1-(2- x 1)]，说明点(2- x 1, y1)一定是函数y=(1-x)上的一点，而点（x1,y1）与点(2- x 1, y1)关于直线x=1对称，所以y=f(x-1)的图象与y=(1-x)的图象关于直线x=1对称，所以选Ｄ。

解法二：函数y=f(x)与y=f(－x)的图象关于y轴对称，y=(1-x)= y=[-(x-1)],把y=f(x)与y=f(－x)的图象同时都向右平移一个单位，就得到y=f(x-1)与y=(1-x)的图象，对称轴y轴向右平移一个单位得直线x=1，故选Ｄ。

解法三：特殊值法。设f(x)=x2，则f(x1)x1，f(1x)1x，由图象可知22（两图象重合），函数f(x-1)和f(1-x)的图象关于直线x=1对称，只有D可能正确。

练习：『变式』函数y=f(x+1)与函数y=f -1(x+1)关于直线（

）对称

A. y=x

B

y=x+1

C

y=x-1

D

y=-x 解：设x+1=t ∴y=f(t)与y=f -1(t)关于y=t对称，∴关于y=x+1对称

选D

[评析]可以用图象上一点，图象之间的相互关系，利用特殊值，换元的方法，判断图象之间的位置关系

例3、方程44xx解：看成函数y的图象相交，

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22x的实根共有几个？

x1244xx2x2y28y0与函数y2x11x1x1

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∵两个曲线有一个交点∴方程有一个解

『变式』方程xlgx2的实根共有几个？

解：画图得

2个

[评析]

交点个数问题，可利用数形结合。交点的横坐标即方程的解

例4、当a>1时，已知x1,x2分别是方程x+ax= -1 和x+logax= -1的解,则x1+x2的值

解: x+ax= -1得ax= -1-x x+logax= -1得logax= -1-x 利用y=logax与y= ax互为反函数,又分别与y=-x-1相交

y=-x-1与y=x 垂直

∴x1+x2=-1

『变式』若函数yx的图象如下,则a的取值范围为? 2xa

解：原式为y

1axx，分x>0,x<0考虑

选B [评析]应用数形结合，求参数范围问题也是一种常见的题型

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例5、已知函数f(x)aaax(a0且a1)（1）证明函数y=f(x)的图象关于点（1/2,-1/2）对称

（2）求f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)的值

解：（1）证明：函数y=f(x)的定义域R，任取一点(x,y)关于点（1/2,-1/2）对称的坐标为(1-x,-1-y) 则-1-y=1aaaxaxaaxf(1x)aa1xaaaaaxaaxaaaxaxaxa

111yf(1x)即函数f(x)关于点（,)对称

22(2)由（1），-1-f(x)=f(1-x)即f(1-x)+f(x)=-1 f(2)f(3)f(1)f(2)f(0)f(1)1原式3

（四）巩固练习：

1．函数yf(x)与yg(x)的图像如下图：

则函数yf(x)g(x)的图像可能是（

A

）

y

y

y

O

x

O

x

x

O

A

xy

y

y

O

B

x

O

C

x3x

O

D

x

2．说明由函数y2的图像经过怎样的图像变换得到函数y2解：方法一：

（1）将函数y2的图像向右平移3个单位，得到函数y2（2）作出函数y2（3）把函数y2方法二：

x3x3x1的图像．

x3的图像；

x3的图像关于y轴对称的图像，得到函数y2x3的图像；

的图像向上平移1个单位，得到函数y2x1的图像．

（1）作出函数y2的图像关于y轴的对称图像，得到y2的图像；

（2）把函数y2的图像向左平移3个单位，得到y2x3xx3x的图像；

x3（3）把函数y2的图像向上平移1个单位，得到函数y21的图像．

3．如下图所示，向高为H的水瓶A,B,C,D同时以等速注水，注满为止；

(A)

(B)

(C)

(D)

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（1）若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的a，则水瓶的形状是

C

；

（2）若水量v与水深h的函数图像是下图中的b，则水瓶的形状是

A

；

（3）若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的c，则水瓶的形状是

D

；

（4）若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的d，则水瓶的形状是

B

．

v

h

t

h

t

h

t

h

(a)

(d)(b)

(c)

4．设曲线C的方程是yx3x，将C沿x轴、y轴正方向分别平移t、s(t0)个单位长度后得到曲线C1，

（1）写出曲线C1的方程；

（2）证明曲线C与C1关于点A(,)对称；

ts22t2（3）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明：st．

4解：（1）曲线C1的方程为y(xt)3(xt)s；

（2）证明：在曲线C上任意取一点B1(x1,y1)，设B2(x2,y2)是B1关于点A的对称点，

xx2ty1y2s,，∴x1tx2,y1sy2代入曲线C的方程，

则有12222得x2,y2的方程：sy2(tx2)3(tx2)

即y2(x2t)3(x2t)s可知点B2(x2,y2)在曲线C1上．

反过来，同样证明，在曲线C1上的点A的对称点在曲线C上．

因此，曲线C与C1关于点A对称．

（3）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，

3yxx∴方程组有且仅有一组解，

3y(xt)(xt)s223消去y，整理得3tx3tx(tts)0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根，

∴9t12t(tts)0，即得t(t4t4s)0，

433t3因为t0，所以st．

4四、小结：

一、作函数图象的基本方法有两种：(1)描点法

(2) 图象变换法：利用基本初等函数变换作图

其中掌握好(1)平移变换：(2) 对称变换：

(3) 伸缩变换

二、图象对称性的证明：

三、有关结论：

若f(a+x)=f(a-x)，x∈R恒成立，则y=f(x)关于x=a对称

若f(a+x)=f(b-x)，x∈R恒成立，则y=f(x)关于x=(a+b)/2对称

若f(a+x)= -f(a-x)，x∈R恒成立，则y=f(x)关于点（a，0）对称

函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=(b-a)/2对称

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若定义在R上的函数f(x) 关于x=a和x=b(b>a)对称，则y=f(x)为周期函数，2b-2a为它的周期（未必最小正周期）

函数y=f(x)关于y= -x对称的函数为-x=f(-y)即y= - f -1(-x) 四、利用数形结合，求参数问题，交点个数问题等

五、作业：

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