小结优质课教学设计

《函数的应用》教案

教学分析：根据新课标理念，学习函数的主要目的就是应用；因而教材用了大量篇幅应用函数知识解决实际问题，应用函数的性质解决生活中的各类增长问题、优化问题，决策问题等等，有效的解决了为什么要学习函数的问题，因此函数的应用及其在解决实际问题中渗透的函数与方程思想都应该引起足够重视。

教学设想：函数应用设及社会生活各个方面，方法灵活多变，因此本节课力求通过解决函数应用问题的基本步骤，体验解决函数问题的一般思考程序，并积累一定的解题经验，事实上，要能很好的解决生活中的实际问题，除了函数知识的掌握，还应对生活中的其它专业知识要有足够的了解，因此本节课的学习，主要是起到一个穿针引线的作用

一、教学目的:

(1)通过本节课的学习,初步体会函数对现实生活的刻画,从而进一步体会学习函数的必要性; (2)能够运用所学函数解决一些简单的实际问题,从而初步认识函数方程思想在现实生活中的作用; (3)初步掌握用函数解决实际问题的基本解题程序

二、教学程序:

以求解应用题的基本程序为主线,贯穿以下知识点

知识点一::常见函数模型对现实生活的刻画

1,一次函数

与二次函数 及幂函数

应用;某民营企事业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,B产品的利润与投资的算术平方根成正比

（1）分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式

（2）该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润?最大利润约为多少?(精确到1 万元)

选题依据：通过本例感知一次函数、二次函数及幂函数型的综合使用解决实际问题

解：（1）由题，

，

（2）设投资B产品x万元，由题A产品为10－x万元，企业获得利润y万元，则有：

（※）

令

，代入（※）知

，

所以投资A产品7.5万元，B产品2.5万元才能使企业获得最大利润，最大利润

万元

2,指数函数模型

应用:据报载，自2004年起的三年内，我国城市垃圾平均每年以9%的速度增长，到2006年底，三年总共堆存的垃圾将达60亿吨，侵占约5亿平方米的土地。

（1）问：2004年我国城市垃圾约有多少亿吨？

（2）据预测，从2007起我国还将以年产1亿吨的速度产生着新的垃圾，从资源学观点看，生活垃圾也是资源，如果1.4亿吨垃圾用于发电，可以节约2333万吨煤炭，现在从2007年起，我国每年处理上年总共堆存垃圾

用于发电，问2007年和2008年这两年，每年可节约煤炭以及共节约多少平方米土地？

选题依据：通过本例认知指数型函数解决实际问题

解：（1）设2004年垃圾为a亿吨，由题知2005年的垃圾为a（1+9%）亿吨,2006年的垃圾a(1+9%)2亿吨，

a+a（1+9%）+a(1+9%)2=60 a=18.3亿吨

（2）设2007年共节约x1万吨煤炭,2008年共节约x2万吨煤炭,节约

亿平方米的

土地

2007年共堆存的垃圾

亿吨,所以由

万吨

2008年共处理堆存垃圾

亿吨,所以由

万吨

亿平方米

综上:2007年节约煤炭9998.6万吨;2008年节约煤炭9165.4万吨;共节约土地0.958亿平方米土地

练：自主探究,完成下列各题

（1）某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是（）

A、增加7.84% B、减少7.84% C、减少9.5%% D、不增不减

解析:设原来价格为a,由题知四年后的价格为a(1+20%)2(1－20%)2,与原来相比,变化情况为

[a－a(1+20%)2(1－20%)2]/a=7.84%,减少7.84% ,选B

（2）某人2004年1月1日到银行存入一年期存款a元，若年利率为x，并按复利计算，那么到2009年1月1日他可以取款（）

A、

元 B、

元 C、

元 D、

元

解析:2005年取款

元

2006年取款

元

2009年取款

元,先这A

3、对数函数模型

的应用

应用：燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数

，单位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量

（1）燕子静止时耗氧量是多少个单位?（

（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

分析:本例主要认知数据和文字的互译

解（1）由题知,当燕子静止时,它的速度

（2）将耗氧量

代入函数

即当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度为15m/s

练：（1）某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少

，至少应过滤 8 次才能达到市场要求（

）

（2）我们常说的里氏震级M，其计算公式是：

，其中A是被测地震最大的振幅，

是“标准地震的振幅，之所以使用标准地震振幅是为了修正测震仪与实际震中距离造成的偏差，一般来讲，5级地震给人的震感已比较明显，但在2008年5月12日发生的汶川大地震，给我国带来空前灾难，据中国地质勘测局测定为里氏8.0级，你能根据里氏震级计算公式得出那次地震是5级地震振幅的 103 倍

4、分段函数模型

应用：某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（mg）

与时间t（h）之间年近似满足以下曲线

（1）写出服药后y与t之间的函数关系式

（2）进一步测定;每毫升血液中含药量不少于0.25mg时，药物对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间

解:通过本例感知分段函数模型,并体会数据与实际问题的互译

（1）

（2）由

,所以服药一次治疗疾病的有效时间

小时

练：国内投寄信函，邮资按下列规则计算

（1）信函质量不超过100g时，每20g付邮资80分，即信函质量不超过20g付邮费80分，信函质量超过20g，但不超过40g付邮费160分，依此类推；

（2）信函质量超过100且不超过2000g时，超过部分每100g付邮资200分，即信函质量超过100g，但不超过200g付邮资（A+200）分，A为质量等于100g的信函的邮资，信函质量超过200g，但不超过300g付邮资（A+400）分，依此类推。

设一封xg( )的信函应付邮资为y，单位：分），则y与x间的函数关系式为

其图象为

解析: →

5、双勾函数模型

你研究过双勾函数吗,你能根据左图说出它具有怎样的性质,并解决下列问题

应用:要建造一个容积为1200 ,深为6m的长方体无盖蓄水池,池壁的造价为95元/㎡,池底的造价为135元/㎡,如何设计水池的长与宽,才能使水池的总造价控制在7万元以内(精确到0.1m)?

本例主要研究双勾函数的性质及其应用

结论（1）双勾函数是奇函数

（2）双勾函数在第一象限的最低点为

（3）以

轴、

为渐近线

（4）在第一象限单增区间为

,单减区间为

由题知:池壁总造价为

;池底造价为

则总价

提问,造价何时最低?

知识点二:几种不同增长的函数模型

你能指出的函数模型有哪些?

根据左方给出的图形,你能总结出三类函数 ;

在

增长的速度特点吗?你研究的结论是什么?

在区间

上,尽管函数

都是增函数,但它们的增长速度不同,随着x的增大, 的增长速度越来越快,会超过并远远大于

的增长速度,因此总会存在一个

,当

模型决策：

应用;下表是某县经委调查得来的2003～2008年的县财政收入情况

年度 2003 2004 2005 2006 2007 2008

收入(万元) 25899 30504 37997 48898 66800 85000

（1）请建立一个数学模型,预测该县以后几年的财政收入情况

（2）计算该县财政收入的平均增长率

（3）由（1）（2）分别预测2009年该县财政收入,并讨论哪种预测结果更有可能性,假如你是县长,将会采用哪种模型?

（1）通过描点作图知,可能的函数为二次函数或二次函数

若选择二次函数,则设

与实际差值分别为0.05,0.51,0.71

若选指数型函数,则可设

,与实际误差分别为0,0.32,0.95,1.20;考虑误差情况,选择二次函数效果较好

（2）设平均增长率为

, %,所以函数的增长率为26.83%

（3）从增长率角度建立函数

亿,因此模型3更有可靠性

归纳总结:函数应用问题基本分析策略:实际问题(文字语言)→数学问题(变量关系)→函数求解(数据)→实际问题(还原为实际问题的解答)