小结教学设计与反思

1.3.1 函数的单调性与最大(小)值（1课时）

一、教学目标

(1)使学生理解函数单调性的概念，并能掌握判断和证明某些函数的单调性的方法；

(2)通过单调性概念教学，培养学生的抽象概括能力，通过例题讲解，培养学生的逻辑思维能力；

(3)理解函数的最大（小）值及其几何意义；

(4)学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 二、教学重点与难点

重点：形成增（减）函数的形式化定义；函数的最大（小）值及其几何意义．

难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性;利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

三、教学过程

Ｔ：前面，我们学习了有关函数的基本概念，下面通过函数的图象来研究函数的一些性质。

1.问题情境

T：由下图，你能说出下列函数图象有何特征？

启发学生由图象（主要是升降变化）获取函数性质的直观认识，从而引入新课。

2.建构教学

2T：再来看两个特殊函数：一次函数yx和二次函数yx（由学生作出图象），

图１

图２

从左到右，这两个函数的图象是如何变化的？

Ｓ：图１是上升的；图２的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的。

Ｔ：从上面的观察分析可以看出，不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同。函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所

要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

T：所谓的从左到右观察图象，体现在函数身上是哪个量发生了怎样的变化？

S：是x值由小变大。

T：图象的上升或下降又可以用函数的哪个量的变化来描述？（以函数yx2为例）

3.教学设计

用计算机作出函数yx2的图象，在上面任选一点P，测出其坐标，引导学生观察当点P在函数图象上“按横坐标（即自变量）x增大”的方向移动时，点P的纵坐标（即函数值）y的变化规律。

S：图2中图象在y轴右侧“上升”，也就是，在x0时，随着x的增大，相应的y值随之增大；图象在y轴左侧“下降”，也就是，在x0时，随着x的增大，相应的y值反而随之减小。

T：如何用数学符号语言描述这种变化趋势呢？（利用Excel得到数据）

教学设计：（1）让学生在区间[0,)上，从0开始，每隔一个单位取一个自变量的值，然后用计算机算出其对应的函数值，得到表1；（2）让学生在区间[0,)上，从9开始，每隔0.1个单位取一个自变量的值，然后用计算机算出其对应的函数值，得到表2；（3）让学生在区间[0,)上，从10开始，每隔10个单位取一个自变量的值，然后用计算机算出其对应的函数值，得到表3；（4）让学生在区间[0,)上，任选一个自变量的值作起点，任选一个单位取其它自变量的值，然后用计算机算出其对应的函数值，得到表4。

根据以上表格，引导学生得出结论：四个表格都说明，任选两个自变量的值，自变量大的函数值也大。即函数yx在(0,)上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于2(0,)上任意的x1,x2，当x1x2时，都有x12x22。我们就说函数yx2在区间(0,)上是增函数。

T：你能仿照这样的描述，说明函数yx在区间(,0)上具有的性质吗？

学生给出回答，并加以命名，称其在该区间上是减函数。

T：一次函数yx具有什么性质？

T：以上两个函数都是具体的，那对于一般函数，如何定义其为增函数（或减函数）？

引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善后给出增（减）函数、单调性、单调区间的定义。

2T：能否将(0,)改为[0,)，函数yx在该区间上仍是增函数？(,0)改为2(,0]？

S：都可以，不影响单调性。

T：这说明什么问题？

S1：两个相邻单调区间的公共端点，可任意放入哪个区间。

S2：也说明对于单独一点，由于其函数值是唯一确定的常数，故没有增减变化，不存在单调性问题。

S3：还说明单调性是针对区间而言的。

T：一次函数yx在整个实数集上是增函数，我们能说二次函数yx2在整个实数集上是增函数（或减函数）吗？

S：不能。该函数有两个单调区间。

T：这又说明了什么问题？

S：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，并不是所有的函数在其定义域上都具备单调性。

T：1.2.2小节例3中的函数y5x,x{1,2,3,4,5}是否具有单调性？

S：不具备。因为该定义域不是区间。

通过设置这三问，使学生加深对定义的理解。

4.新课教学

函数最大（小）值定义

1．最大值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）

注意：

1

函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；

○2

函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)○≤M（f(x)≥M）．

2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

1

利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

○2

利用图象求函数的最大（小）值

○3

利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

○

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

5.数学应用

（一）例题

例1

下图是定义在区间[-5，5]上的函数yf(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

解：（略）

T：f(x)在区间[-5，-2]，[1，3]都是减函数，能否说f(x)在[-5，-2]∪[1，3]上是减函数？

S：不能，不符合定义。

这说明单调区间不能写成并集形式。

例2 物理学中的玻意耳定律pk(k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体V积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。 分析：按题意，只要证明函数p解：（略）

小结判断函数单调性的方法：

k在区间(0,)上是减函数即可。

V

例3（教材P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．

解：（略）

说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．

巩固练习：如图，把截面半径为

25cm的圆形木头锯成矩形木料，

25 如果矩形一边长为x，面积为y 试将y表示成x的函数，并画出

函数的大致图象，并判断怎样锯

才能使得截面面积最大？

例4（新题讲解）

旅

馆

定

价

一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：

房价（元）

160 140 120 100 住房率（%）

55 65 75 85 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？

解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．

设y为旅馆一天的客房总收入，x为与房价160相比降低的房价，因此当房价为(160x)元时，住房率为(55x10)%，于是得

20xy=150·(160x)·(5510)%．

20x10)%≤1，可知0≤x≤90．

由于(5520因此问题转化为：当0≤x≤90时，求y的最大值的问题．

将y的两边同除以一个常数0.75，得y1=－x2＋50x＋17600．

由于二次函数y1在x=25时取得最大值，可知y也在x=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．

所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）

例5（教材P31例4）求函数y2在区间[2，6]上的最大值和最小值．

x1解：（略）

注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．

巩固练习：（教材P32练习5）

（二）练习（P32—1、2，P39—2，P30探究）

1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系。

四、回顾小结

教师提出下列问题让学生思考：

（1）通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？

（2）增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？

（3）怎样用定义证明函数的单调性？

(4)求函数的最值有什么方法？最常用的是什么方法？

五、课外作业

第39页习题1.3 A组第1，2，3题，B组1、2题. 提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h和15 km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？

B A

C

D