小结教学设计及课堂实录

章末复习课

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要点归纳

1．对于函数y＝f(x)，x∈D，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)，x∈D的零点．

2．方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点．

3．函数的零点的存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0. (1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)＜0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在性定理仅对连续函数适用)．

(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点不一定有f(a)·f(b)＜0，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)＜0. 4．二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验．

5．解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：

专题一

函数的零点与方程的根的问题

确定函数零点的个数有两个基本方法：一是利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断．二是利用零点存在性定理判断，但还需结合函数的图象和

单调性，特别是二重根容易漏掉．

函数的零点是一个实数而非一个点，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．

x2，x≥0，【例1】

设函数f(x)＝

－x，x＜0.

(1)f(x)有零点吗？

(2)设g(x)＝f(x)＋k，为了使方程g(x)＝0有且只有一个根，k应该怎样限制？

(3)当k＝－1时，g(x)有零点吗？如果有，把它求出来，如果没有，请说明理由；

(4)你给k规定一个范围，使得方程g(x)＝0总有两个根．

图(1) 解

(1)画出f(x)的图象，如图(1)，从图象可以看出，图象与x轴没有交点，f(x)没有零点．

(2)从图(1)可以看出f(x)＞0.

图(2) 对于g(x)＝f(x)＋k，为了使方程g(x)＝0有且只有一个根，f(x)的图象必须向下移动，但移动的幅度要小于1，否则g(x)＝0就有两个根了．

k应该限制为－1＜k＜0. 几何解释如图(2)．

(3)有，x＝0，它来源于2x－1＝0；

x＝－1，它来源于－x－1＝0. (4)规定k的范围是{k|k≤－1}．

专题二

函数模型及应用

应用函数知识解应用题的关键在于深入理解题意，用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻求已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联系起来，建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点求解．

【例2】

有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次是P和Q(万元)，x3它们与投入资金x(万元)的关系，有经验公式：P＝，Q＝x.今有3万元资金投入经营甲、55乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大利润是多少？

解

设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资为(3－x)万元，总利润y万元，据题意有：

13y＝x＋

553－x(0≤x≤3)．

3－x＝t，则x＝3－t2,0≤t≤3，

313121t－2＋，t∈[0，3]．

所以y＝(3－t2)＋t＝－555220令

3当t＝时，ymax＝1.05，此时x＝0.75,3－x＝2.25. 2由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得总利润为1.05万元．

专题三

函数与方程思想的应用

函数与方程有密切的联系，函数的思想是从变量出发研究的整体性质，而方程则是从未知数的角度出发研究函数在某一状态下的性质．函数问题和方程问题可以相互转化．函数f(x)的零点对应着方程f(x)＝0的根，方程的问题又可利用函数的性质解决．

本章函数与方程思想的应用，主要体现在：求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的零点，就是求函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；其次，在应用题中利用函数建模，解决实际问题．

【例3】

若关于x的方程x2＋mx＋m－1＝0有一个正根和一个负根，且负根的绝对值较大，求实数m的取值范围．

m解

令f(x)＝x2＋mx＋m－1，其图象的对称轴为x＝－.因为方程x2＋mx＋m－1＝0有2一个正根和一个负根，

则函数f(x)有两个零点x1，x2. 由题意不妨设x1＞0，x2＜0，且|x2|＞|x1|，

画出函数f(x)的图象如图所示．

则函数f(x)满足

f0＝m－1＜0，m∴0＜m＜1. －＜0，2故所求实数m的取值范围为(0,1)．

专题四

数形结合思想的应用

函数的解析式与函数图象是函数的两种不同表现形式，因此在解决数学问题时，可以通过数与形的相互转化达到“以形助数，以数解形”的目的，数形结合的思想可以将复杂问题简单化，抽象问题直观化，此类问题通常是解的个数的判断和解的范围的确定等．

【例4】

设函数f(x)＝x－1，g(x)＝log6(x＋3)(x＞－3)，若f(x)＜g(x)，求x的整数解．

解

在同一坐标系内，作出函数f(x)与g(x)的图象如图所示，

则两函数图象有两个交点，一个交点的横坐标显然在－3和－2之间，另一个交点设为P. 设φ(x)＝g(x)－f(x)，

∵φ(1)＝g(1)－f(1)＝log64＞0，

φ(2)＝g(2)－f(2)＝log65－1＜0. 因此，1＜xP＜2，

所以f(x)＜g(x)时，

整数x＝－2，－1,0或1.