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第7讲

函数的图象

最新考纲

1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题.

知

识

梳

理

1.利用描点法作函数的图象

步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)对称变换

――→y＝f(x)的图象关于x轴对称y＝－f(x)的图象；

――→y＝f(x)的图象关于y轴对称y＝f(－x)的图象；

――→y＝f(x)的图象关于原点对称y＝－f(－x)的图象；

y＝ax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称y＝logax(a>0，且a≠1)的图象. (3)伸缩变换

y＝f(x)1（a>0）倍y＝f(ax). y＝f(x)横坐标不变y＝Af(x). (4)翻转变换

y＝f(x)的图象x轴下方部分翻折到上方y＝|f(x)|的图象；

y＝f(x)的图象y轴右侧部分翻折到左侧y＝f(|x|)的图象. ――→

诊

断

自

测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

精彩PPT展示

(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到.( ) (2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称.( ) (3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同.( ) (4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.( )

解析

(1)y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到y＝f(－1－x)，故(1)错.

(2)两种说法有本质不同，前者为函数自身关于y轴对称，后者是两个函数关于y轴对称，故(2)错.

(3)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两函数图象不同，故(3)错.

答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

2.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为( ) A.f(x)＝ex＋1

C.f(x)＝e－x＋1

B.f(x)＝ex－1

D.f(x)＝e－x－1

解析

依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.

答案

D 3.(2016·浙江卷)函数y＝sin x2的图象是( )

解析

∵y＝sin(－x)2＝sin x2，

∴函数为偶函数，可排除A项和C项；当x＝2时，sin x2

π

π2＝sin4≠1，排除B项，只有D满足.

答案

D 4.若函数y＝f(x)在x∈[－2，2]上的图象如图所示，则当x∈[－2，2]时，f(x)＋f(－x)＝________. 解析

由于y＝f(x)的图象关于原点对称∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0.

答案

0 5.若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________. 解析

在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示.由图象知当a>0时，方程|x|＝a－x只有一个解.

答案

(0，＋∞)

考点一

作函数的图象

【例1】

作出下列函数的图象：

1(1)y＝2；(2)y＝|log2(x＋1)|；

2x－1(3)y＝x－1；

(4)y＝x2－2|x|－1. 111解

(1)先作出y＝2的图象，保留y＝2图象中x≥0的部分，再作出y＝2的图象中1x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝2的图象，如图①实线部分.

(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②. (3)∵y＝2＋x－1，故函数图象可由y＝x图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③. 11

x2－2x－1，x≥0，(4)∵y＝x2＋2x－1，x<0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④. 规律方法

画函数图象的一般方法

(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.

(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 【训练1】

分别画出下列函数的图象：

(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin |x|. lg x，x≥1，解

(1)∵y＝|lg x|＝－lg x，0

∴函数y＝|lg x|的图象，如图①.

(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②. 考点二

函数图象的辨识

【例2】

(1)(2016·全国Ⅰ卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为( )

(2)(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )

解析

(1)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，

又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除选项A，B.

设g(x)＝2x2－ex，x≥0，则g′(x)＝4x－ex.

又g′(0)＜0，g′(2)＞0，

∴g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，

∴f(x)＝2x2－e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C，故选D.

π3π(2)当x∈4时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A，C.当x∈4时，π3πf4＝f4＝1＋，

f2＝2.∵2<1＋，

∴f2

答案

(1)D

(2)B 规律方法

(1)抓住函数的性质，定性分析

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复.④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

(2)抓住函数的特征，定量计算

从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 【训练2】

(1)(2017·安徽“江南十校”联考)函数y＝log2(|x|＋1)的图象大致是( ) ππ3ππ

(2)(2017·临沂一模)已知a是常数，函数f(x)＝3x3＋2(1－a)x2－ax＋2的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝|ax－2|的图象可能是( ) 11

解析

(1)y＝log2(|x|＋1)是偶函数，当x≥0时，y＝log2(x＋1)是增函数，且过点(0，0)，(1，1)，只有选项B满足.

131(2)由f(x)＝3x＋2(1－a)x2－ax＋2，得f′(x)＝x2＋(1－a)x－a，

1－a根据y＝f′(x)的图象知－2>0，∴a>1.

则函数g(x)＝|ax－2|的图象是由函数y＝ax的图象向下平移2个单位，然后将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的，故选D.

答案

(1)B

(2)D 考点三

函数图象的应用(多维探究) 命题角度一

研究函数的零点

【例3－1】

已知f(x)＝2|x|，x≤0，则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________. 解析

由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝2或f(x)＝1

作出函数y＝f(x)的图象.

1由图象知y＝2与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点.

1|lg x|，x>0，因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个.

答案

5 命题角度二

求不等式的解集

【例3－2】

函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式cos x<0的解集为________. 解析

当x∈2时，y＝cos x>0.

π当x∈，4时，y＝cos x<0.

πf（x）结合y＝f(x)，x∈[0，4]上的图象知，当1＜x<2时，cos x<0.

f（x）又函数y＝cos x为偶函数，

f（x）π∴在[－4，0]上，cos x<0的解集为，－1，

πf（x）所以cos x<0的解集为，－1∪2.

答案

，－1∪2

命题角度三

求参数的取值或范围

【例3－3】

(2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；

②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)＝－ln（－x），x<0有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是( ) A.(－∞，0)

1C.2

kx－1，x>0，ππf（x）ππB.(0，1)

D.(0，＋∞) 解析

依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y＝f(x)的图象上，且关于坐标原点对称.

可作出函数y＝－ln(－x)(x<0)关于原点对称的函数y＝ln x(x>0)的图象，

使它与直线y＝kx－1(x>0)的交点个数为2即可.

当直线y＝kx－1与y＝ln x的图象相切时，设切点为(m，ln m)，

1又y＝ln x的导数为y′＝x，

1则km－1＝ln m，k＝m，解得m＝1，k＝1，

可得函数y＝ln x(x>0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，

结合图象可知k∈(0，1)时两函数图象有两个交点.

答案

B 规律方法

(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性.

(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解. (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 【训练3】

(1)(2015·全国Ⅰ卷)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝( ) A.－1

C.2

B.1 D.4 (2)已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是________. 解析

(1)设(x，y)是函数y＝f(x)图象上任意一点，它关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，由y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，可知(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，即－x＝2－y＋a，解得y＝－log2(－x)＋a，所以f(－2)＋

f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1，解得a＝2，选C.

(2)由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x.

在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1，0)∪(1，].

答案

(1)C

(2)(－1，0)∪(1，]

[思想方法] 1.识图

对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系. 2.用图

借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等. [易错防范] 1.图象变换是针对自变量x而言的，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移2个单位，先作如下变形f(－2x＋1)＝f2，可避免出错. 2.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系. 3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.

11

基础巩固题组

(建议用时：40分钟) 一、选择题

1.为了得到函数y＝2x－2的图象，可以把函数y＝2x图象上所有的点( ) A.向右平行移动2个单位长度

B.向右平行移动1个单位长度

C.向左平行移动2个单位长度

D.向左平行移动1个单位长度

解析

因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象.

答案

B 2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )

解析

小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除B.故选C.

答案

C 3.(2015·浙江卷)函数f(x)＝xcos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( ) 1

解析

(1)因为f(－x)＝xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，－π≤x≤π且x≠0，所以函数f(x)为奇函数，排除A，B.当x＝π时，f(x)＝πcos π<0，排除C，故选D.

答案

D 4.(2017·桂林一调)函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是( ) 111

解析

由于函数y＝(x3－x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称.当01时，y>0.

排除选项A，C，D，选B.

答案

B 5.使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是( ) A.(－1，0)

C.(－2，0)

B.[－1，0) D.[－2，0) 解析

在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0)，故选A.

答案

A 二、填空题

6.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________. 解析

当f(x)>0时，

函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0的x∈(2，8].

答案

(2，8] 7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________.

解析

当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0).

则－k＋b＝0，k＝1，b＝1，得b＝1，∴y＝x＋1.

当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1(a≠0).

∵图象过点(4，0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝4.

1答案

f(x)＝（x－2）2－1，x>0

18.设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________. 解析

如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞).

答案

[－1，＋∞)

三、解答题

3－x2，x∈[－1，2]，9.已知函数f(x)＝x－3，x∈（2，5].

(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；

(2)写出f(x)的单调递增区间；

(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值. 解

(1)函数f(x)的图象如图所示. (2)由图象可知，

函数f(x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]. (3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，

当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3. 10.已知f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)作出函数f(x)的图象；

(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；

(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}. 解

(1)当x2－4x＋3≥0时，x≤1或x≥3，

∴f(x)＝－x2＋4x－3，1

∴f(x)的图象为：

(2)由函数的图象可知f(x)的单调区间是(－∞，1]，(2，3)，(1，2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2，3)是减区间；(1，2]，[3，＋∞)是增区间. (3)由f(x)的图象知，当0

(建议用时：20分钟) 11.已知函数f(x)＝x2－2x－1，x<0，则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是( ) A.f(x1)＋f(x2)<0

C.f(x1)－f(x2)>0

B.f(x1)＋f(x2)>0 D.f(x1)－f(x2)<0 x2＋2x－1，x≥0，x2－4x＋3，x≤1或x≥3，解析

函数f(x)的图象如图所示：

且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数.

又0<|x1|<|x2|，∴f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0. 答案

D 12.(2015·安徽卷)函数f(x)＝（x＋c）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) ax＋b

A.a>0，b>0，c<0

C.a<0，b>0，c<0

B.a<0，b>0，c>0 D.a<0，b<0，c<0 解析

函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，

∴c<0.

b令x＝0，得f(0)＝c2，又由图象知f(0)>0，∴b>0.

bb令f(x)＝0，得x＝－a，结合图象知－a>0，∴a<0.

答案

C 13.已知函数f(x)＝x，x>1，若对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，则实数k的取值范围为________. 解析

对任意x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，即f(x)max≤|k－1|.

因为f(x)的草图如图所示，

1观察f(x)＝x，x>1

1的图象可知，当x＝2时，函数f(x)max＝4，

所以|k－1|≥4，解得k≤4或k≥4.

答案

4∪，＋∞

14.已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋x＋2的图象关于点A(0，1)对称. (1)求函数f(x)的解析式；

a(2)若g(x)＝f(x)＋x，g(x)在区间(0，2]上的值不小于6，求实数a的取值范围. 13513511解

(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，

∵点(x，y)关于点A(0，1)的对称点(－x，2－y)在h(x)的图象上，

∴2－y＝－x＋－x＋2，∴y＝x＋x，即f(x)＝x＋x. (2)由题意g(x)＝x＋x，

且g(x)＝x＋x≥6，x∈(0，2]. ∵x∈(0，2]，∴a＋1≥x(6－x)，即a≥－x2＋6x－1. a＋1a＋1111

令q(x)＝－x2＋6x－1，x∈(0，2]，

q(x)＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8，

∴当x∈(0，2]时，q(x)是增函数，q(x)max＝q(2)＝7. 故实数a的取值范围是[7，＋∞).