信息技术应用 收集数据并建立函数模型第二课时教学实录

第13课时 函数模型及其应用

【考点概述】

将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义．

【重点难点】：

①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；

②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．

【知识扫描】

1．常用的函数模型有：_________，二次函数，___________，___________，幂函数. 2．函数模型的应用实例的基本题型： （1）给定函数模型解决实际问题；

（2）建立__________的函数模型解决问题；

（3）建立拟合函数模型解决实际问题.

【热身练习】

1．计算机价格约每3年下降2，今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是 3元. 2. 已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停

留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(小时) 的函数表达式是

．

3．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是

y300020x0.1x2(0x240,xN)，若每台产品的售价为25万元，

则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是 . 4. 购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话ks5u.com

时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时

每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则它购买_________卡才合算． 5. 从盛满20升纯消毒液的容器中倒出1升，然后用水加满，再倒出1升，再用水加满．这样继

续下去，则所倒次数x和残留消毒液y之间的函数解析式为_ ______．

6．以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边

用心

爱心

专心

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的篱笆隔开，已知篱笆的总长为定值l，则这块场地的最

大面积是 。

【范例透析】

【例1】经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f(t)（万人）．．与

时间t（天）的函数关系近似满足f(t)4，人均消费g(t)（元）与时间t（天）．的

函数关系近似满足g(t)115|t15|. （Ⅰ）求该城市的旅游日收益w(t)（万元）与时间t(1t30,tN)的函数关系式；

．．（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）. ．．

【变式训练】经市场调查，某种商品在过去50天的销售和价格均为销售时间t（天）的函数，且销售量近似地满足f(t)2t200(1t50,tN)，前30天价格为1tg(t)1t30(1t30,tN)，后20天价格为

2g(t)45(31t50,tN)。

（1）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；

（2）求日销售额S的最大值。

【例2】某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长为x,y（单位m）的矩形，上部是

等腰直角三角形。要求框架围成的总面积是8m，问x,y分别为多少时，用料最省？

2用心

爱心

专心

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【例3】为了缓解交通压力，某省在两个城市之间修建一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车．如果该列火车每次拖4节车厢，每日能来回16趟；如果每次拖7节车厢，则每日能

来回10趟．火车每日每次拖挂车厢的节数是相同的，每日来回趟数y是每次拖挂车厢节

数x的一次函数，每节车厢满载时能载客110人．

（1）求出y关于x的函数关系式；

（2）这列火车满载时每次应拖挂多少节车厢才能使每日营运人数最多?并求出每天最多的

营运人数。

【例4】某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外,每生产1件这种产品还需要增加

投入25元,经测算,市场对该产品的年需求量为500件,且当出售的这种产品的数量为

t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t12t(万元). 2(1)若该公司这种产品的年产量为x(单位:百件).试把该公司生产并销售这种产品所得的

年利润y表示为年产量x的函数; (2)当该公司的年产量x多大时,当年所得利润y最大?

【巩固练习】

1．一批设备价值1万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低50%，则3年后这批设备的价值

为______________（万元）（用数字作答）. 22. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x和

L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润

为

．

3. 某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与用心

爱心

专心

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广告

费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出

100元的广告费,所得的销售额是1000元.问该企业应该投入

广告费,才能获得

最大的广告效应．

4．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价收费)；超

过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过的部分按每千

米2.85元收费，每次乘车需付燃油附加费1元，现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次

出租车行驶了____________千米．

5. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v

m/s和燃料的质量M

kg，火箭(除燃料外)的质

量m

kg的函数关系是v＝2000·ln(1＋M/m)．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的

最大速度可达12 km/s. 6．建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方为120元和

80元，则水池的最低造价为 元。

2用心

爱心

专心

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