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历史上方程求解方法的思想研究

方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，其核心思想是建模与化归。不同国家的数学家都对其进行过不同程度的思考与研究，由于不同国家的文化背景及思维方式千差万别，这便使方程求解理论在不同国家与地区各具特点，这也充分彰显了方程求解理论的多样性。当然，作为师范生的我们在研究此问题时，绝不可将思想的重点全部放在数学层面上，也应当重视不同思想文化中的成就及其所蕴含的教育价值，唯有此，我们才能够从历代数学家中获取方程求解背后的数学思想，才能在我们未来的工作岗位上得到很好的应用。

千百年来，方程的求解方法一直是人们研究的重点。在此过程中，涌现出了许许多多优秀的数学家，他们拥有扎实的数学功底，在潜心研究中提出了内容丰富且深刻的理论，推动了代数方程求解的飞跃。

早在中国的古代就有相应成熟的研究理论。以《周髀算经》注中的“勾股圆方图”为最早：“其倍弦为广、袤合，令勾、股见者自乘为其实。四实以减之，开其余所得为差，以差减合，半其余为广。减广于弦，即所求也。”用现代数学语言可理解为：已知一个矩形的面积为一直角三角形的勾（或股）的平方，长（袤）、宽（广）之和为弦的两倍，求此矩形的长和宽。这一问题我们可以简化为一个简单的数学模型：即一元二次方程。对于它的求解，我国古代数学家赵爽就建立了他的理论，并在《勾股圆方图注》中推导出二次方程和求根公式。

无独有偶，在公元前两千年左右，古巴比伦人的《泥板文书》书中也建立了求解方法：求出一个数，使它与它的倒数之和等于一个已知数，即可以得出解。由此，我们便可知道当时的巴比伦人已经知道了一元二次方程的求根公式，只是当时他们没有接受负数，所以负根被他们略而不提；而在希腊的丢翻图中，只承认了二次方程的一个正根。即使两根都是正的，也只默认取其中之一；在阿尔·花拉子模的《代数学》中，给出了一元二次方程的几种特殊解法，并第一次给出了一元二次方程的一般解法。他承认方程有两个根，还允许有无理根存在，只是还未认识虚根。

对于复数根的运用是在十六世纪意大利数学家们解一元二次方程中开始的。其中最具代表性的当属法国数学家韦达了。他得出了一元二次方程在复数范围内一定有解，并且发现了根与系数的关系。从他的研究过程中我们不难发现，他对数学的痴迷绝不低于任何一位数学家。每次当韦达被数学难题吸引住时，就会一连数日闭门不出，以进行思考与研究。当时，他和几位数学家都致力研究方程根与系数的关系，由于韦达的论文发表得较早，影响力巨大，因此后人习惯上把一元二次方程根与系数的关系定理称为韦达定理。

除此之外，韦达在数学研究中另一重大的贡献便是改进了数学符号，成为第一个有意识地使用字母来表示已知数、未知数及乘方的数学研究人员。我们知道，数学能够成为如今这样有力的工具，与它使用的符号语言是分不开的。这些数学符号使得方程和代数恒等式有了简洁、清楚的形式。同时，这些数学符号的使用使人便于思考．通过符号的演算和推导，我们能够十分容易地证明某些数学关系式、某些规律。因此，后世又称韦达是“数学符号的改革家”。

当然，在研究过程中还有很多数学家对其做出了贡献。其中，不乏有像花拉子米、卡尔达诺、费拉里拉格朗日、阿贝尔、伽罗瓦等，他们思维敏捷，懂得将前人的研究成果应用于其研究过程中。其中成就斐然的要论拉格朗日了。他总结了前人的工作得出了辅助方程的理论，并由此提出用置换的思想进行代数方程求解。这种方法是史无前例的，他彻底改变了代数方程求解的内涵。拉格朗日又将置换的思想用于实践顺利的解答了低次方程。对于高次方程他又给出了降次的方法，这种思想指引着以后的代数学家继续努力，使得代数方程求解取得最终的胜利，并促进了代数学的新生。

总结拉格朗日对代数方程的两大贡献后，我们可以发现解方程与根的置换之间存在着关

系，通过借助辅助方程我们可以求解高次方程。Harold M.Edwards认为拉格朗日对伽罗瓦影响很大，并提到拉格朗日尝试了用各种方法去解答三四次代数方程。但很遗憾他最终也没有办法解答更高次五次及五次以上的方程。另外莫里斯克莱因在《古今数学思想》中也讨论了拉格朗日对代数方程求解的贡献，阐述了拉格朗日使用置换思想求解代数方程的内涵。不可否认拉格朗日对代数方程求解的贡献是巨大的。

总结拉格朗日的贡献，一大贡献便是提出辅助方程理论。他从一元三次方程的求解谈起，详细地重述了卡尔达诺，费拉里，车恩豪斯，欧拉，贝祖的解答三四次方程的方法，但是他却发现了前人使用方法的一般性，他试图给出一种通用的方法去解答代数方程，由此他得到了辅助方程理论。其内涵是：求解二次方程需要先解答一个一次的辅助方程，该辅助方程的解为原方程根的函数，并且该函数在原二次方程根的置换下只能取得一个值；解答三次方程需要先解答一个二次的辅助方程，该辅助方程的解为原方程根的函数，并且该函数在原三次方程根的置换下只能取得两个值；对于四次方程也可以得到相同的结论。这就给拉格朗日的下一步工作——用置换思想进行代数方程求解中最关键的部分：预解式的选取确定了标准，即在解答二次方程时，要求所寻找的预解式在原方程根的置换下只能取到一个值，这时所对应的辅助方程的次数就是一次的；在解答三次方程时，要求所寻找的预解式在原方程根的置换下只能取到两个值，这时所对应的辅助方程的次数就是二次的；对于解答四次方程可以得到相同的结论。拉格朗日由此得出结论：求解代数方程就是要求解它的辅助方程，而这个辅助方程的次数由预解式在原方程根置换下取得不同值的个数确定，那么对于求解任意n次的方程，我们只要能找到一个合适的预解式，使得该预解式在原方程根的置换下只能取得n-1个值，我们就得到一个n-1次的辅助方程，若该n-1次辅助方程可解就意味着原方程可解。辅助方程理论是拉格朗日对前人求解代数方程方法的总结而得到的，但拉格朗日的工作不仅限于此，拉格朗日还详细地解释了辅助方程理论出现的原因。最为关键的是辅助方程理论是拉格朗日提出置换思想的前提，也就是说他的辅助方程理论直接导致了置换思想的出现。

接下来就是拉格朗日第二贡献-置换思想的提出。正是拉格朗日得出了辅助方程理论，进而提出了置换思想，用置换的思想进行代数方程求解是代数方程求解史中最伟大的发现之一。它的出现使得代数方程求解开始了新的篇章，代数方程求解进入了近代发展时期，代数学也因此得到了发展。拉格朗日用置换思想进行代数方程求解的内涵是：求解代数方程的本质就是要求解它的辅助方程，因此需要寻找一个合适的预解式，该预解式在原方程根的置换下得到的不同值的个数即为辅助方程的次数，若能找到合适的预解式则就可得到辅助方程，解答辅助方程后就可以顺利得到原方程的根。

事实上，拉格朗日的工作远不止于此，他不仅提出了置换的思想而且将置换的思想用于求解代数方程，由此彻底地改变了代数方程求解的内涵，以前的数学家在代数方程求解时聚焦于找到方程的求根公式，这我们是熟悉的，我们很容易给出二三四次方程的求根公式，但对于更高次的方程找到其求根公式并不是一件容易的事情，甚至有些时候根本就是不可能的。拉格朗日改变了这个观点，使我们求解代数方程的思路发生了根本性的转变：由寻找求根公式而转变为寻找预解式。在拉格朗日之前，所谓的代数方程可解指的是能得到方程的求根公式，即原代数方程系数的一个表达式；而现在我们只需要找到合适的预解式，即原代数方程根的一个函数，那么原方程就有可能可解；因此解方程的关键就是找到合适的预解式，拉格朗日更进一步给出了一个求解代数方程的程序。按此程序，拉格朗日顺利地解答了三四次方程，但对于五次及五次以上以上的方程，这种方法并不是很有用，因为有时并不是很容易找到合适的预解式。因此拉格朗日又给出了处理高次方程的方法将次，通过添加适当的辅助方程把方程的次数降得更小一些，这样我们需要解答更多的辅助方程。如果这些辅助方程都是可解的，则原方程就可解。

拉格朗日最终没有完美地解决高次方程的求解问题，但就像拉格朗日本人期望的一样，

后人能通过这个方法去解答任意次的方程。拉格朗日虽然失败了，但他的思想和方法却一直鼓舞，影响着以后的代数学家。鲁菲尼是拉格朗日的学生和追随者，他对于代数方程求解最大的贡献是第一次宣告五次及五次以上代数方程没有根式解。我们知道鲁菲尼的

工作是拉格朗日工作的深入，正是由于拉格朗日工作的基础才使得鲁菲尼取得如此的成就。而拉格朗日的工作直接影响了高斯，高斯是因为解答了十七次的分圆方程而一鸣惊人的。高斯的办法是将十七次的分圆方程降为更低次的方程求解，在此，我们

、不得不惊叹高斯的聪明，他巧妙地把拉格朗日求解代数方程的方法运用到分圆方程求解上。正是由于高斯很清楚拉格朗日置换理论的内涵，所以他顺利地选择了预解式将十七次的分圆方程化为四个二次的方程求解，从而顺利地解答了十七次的分圆方程。

而代数方程求解的最终胜利是由伽罗瓦做出的，但拉格朗日对伽罗瓦的帮助也是巨大的。具体体现在拉格朗日的一些基本理论对伽罗瓦的理论的产生奠定了基础。比如在预解式的选取方面，伽罗瓦显然参考了拉格朗日的工作，只不过伽罗瓦更加清楚预解式的选择标准，很明显正是在拉格朗日理论的指引之下，伽罗瓦才取得了代数方程求解的最终胜利。

我们知道，现代代数学是从群论开始的，但群论的一些观点在拉格朗日的工作中早就已经出现过。比如置换的思想，拉格朗日不仅提出了置换的思想，并且深入地讨论了置换的性质；拉格朗日给出的处理低次方程的程序也蕴含着域的思想；拉格朗日处理高次方程的方法最终是要得到一个子群序列，这些子群应该是一些正规子群，所以可以说是拉格朗日是促进代数学的发展的灵魂人物。

通过探究历代数学家对代数理论的研究过程，我们不难发现，任何一种数学理论的建立都需要经过无数数学家潜心研究而来的。最为未来社会的接班人，我们的责任即是要用知识武装自己的头脑，用责任去指引我们的未来。