习题1.2优秀教学设计

第10讲

函数的图象

1．利用描点法作函数图象

基本步骤是列表、描点、连线．

首先：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．

2．利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

a>0，右移a个单位y＝f(x)a<0，左移――→|a|个单位y＝__f(x－a)__；

b>0，上移b个单位y＝f(x)b<0，下移――→|b|个单位y＝__f(x)＋b__；

(2)伸缩变换

10<ω<1，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍ωy＝f(x)―――――――――――――――――――――――→y＝__f(ωx)__；

1ω>1，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍ωA>1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍y＝f(x)0

(3)对称变换

y＝f(x)关于x轴对称,y＝__－f(x)__；

y＝f(x)关于y轴对称,y＝__f(－x)__；

y＝f(x)关于原点对称,y＝__－f(－x)__. (4)翻折变换

去掉y轴左边图，保留y轴右边图y＝f(x)将y轴右边的图象翻折到左边去――→y＝__f(|x|)__；

保留x轴上方图y＝f(x)将x轴下方的图象翻折到上方去――→y＝__|f(x)|__. 对点快练

1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．

(1)函数y＝f(x)的图象关于原点对称与函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称一致．( ×

)

1

(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( ×

) (3)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．( ×

) (4)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．( ×

) 解析

(1)错误．前者是函数y＝f(x)图象本身的对称，而后者是两个图象间的对称．

(2)错误．例如，函数y＝|log2x|与y＝log2|x|，当x>0时，它们的图象不相同．

(3)错误．函数y＝af(x)与y＝f(ax)分别是对函数y＝f(x)作了上下伸缩和左右伸缩变换，故函数图象不同．

(4)错误．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到y＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的图象．

ln|x|22．函数y＝x＋的图象大致为( C

) x

11解析

因为ff(1)<0，故由零点存在定理可得函数在区间，1上存在零点，故排除eeln－x112A，D项；又当x<0时，f(x)＝x＋，而f－＝2＋e>0，排除B项，故选C．

xee3．已知函数y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，则函数y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象过点( D

) A．(1，－2)

C．(3，－2)

B．(2，－2)

D．(4，－2) 解析

由已知有f(4)＝2，故函数y＝f(x)的图象一定过点(4,2)，函数y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象过点(4，－2)，故选D．

4．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e关于y轴对称，则xf(x)＝( D

) A．eC．ex＋1

xB．eD．ex－1

－x－x＋1－x－1解析

依题意，与曲线y＝e关于y轴对称的曲线是y＝e，于是f(x)的图象相当于曲线y＝e向左平移1个单位得到的，

∴f(x)＝e－(x＋1)－x＝e－x－1．

5．若将函数y＝f(x)的图象向左平移2个单位，再沿y轴对折，得到y＝lg(x＋1)的图象，则f(x)＝__lg(3－x)__. 解析

把y＝lg(x＋1)的图象沿y轴对折得到y＝lg(－x＋1)的图象，再将图象向右平

2

移2个单位得到y＝lg[－(x－2)＋1]＝lg(3－x)的图象，∴f(x)＝lg(3－x)．

一

函数图象的作法

函数图象的作法

(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．

(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出．

【例1】

作出下列函数的图象．

1|x|(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；

22x－12(3)y＝；(4)y＝x－2|x|－1．

x－11x1x解析

(1)作出y＝(x≥0)的图象，再将y＝(x≥0)的图象以y轴为对称轴翻折221|x|到y轴的左侧，即得y＝的图象，如右图中实线部分．

2

(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如右图．

2x－111(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平x－1x－1x移2个单位而得，如图．

x－2x－1，x≥0，(4)∵y＝2x＋2x－1，x<02

且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，2再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y＝x－2|x|－1的图象，如下图．

3

二

函数图象的识别

函数图象识别的两种方法

(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象．

(2)利用间接法排除筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：

①从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；

②从函数的单调性判断图象的上升、下降趋势；

③从函数的奇偶性判断图象的对称性；

④从函数的周期性判断图象的循环往复；

⑤从特殊点出发排除不符合要求的选项．

【例2】

(1)(2018·湖北天门、仙桃、潜江三市联考)已知图(1)是函数y＝f(x)的图象，则图(2)中的图象对应的函数可能是( C

)

A．y＝f(|x|)

C．y＝f(－|x|)

(2)函数f(x)＝B．y＝|f(x)| D．y＝－f(－|x|) ax＋b2的图象如图所示，则下列结论成立的是( C

) x＋c

A．a>0，b>0，c>0 B．a<0，b>0，c>0 C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0 解析

(1)由图(2)知，图象对应的函数是偶函数，故B项错误，且当x>0时，对应的函数是y＝f(－x)，显然A项，D项不正确．故选C．

(2)函数f(x)的定义域为{x|x≠－c}，由题中图象可知－c＝xp>0，即c<0，排除A项，B项．

令f(x)＝0，可得x＝－，则xN＝－，

又xN>0，则<0.所以a，b异号，排除D项．

bababa

4

三

函数图象的应用

函数图象的两个应用

(1)利用函数的图象研究方程根的个数：

当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．

(2)利用函数的图象研究不等式：

当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．

1－x，x≤1，【例3】 (1)若函数f(x)＝ln x，x>1，2

则函数y＝f(x)－31x＋的零点的个数32为( D

) A．1

C．3

B．2 D．4 (2)(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝mx＋1与yx＝f(x)图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝( B

) i＝1A．0

C．2m

解析

(1)分别作出y＝f(x)与y＝g(x)＝B．m

D．4m

31x－的图象，如图．

32

显然直线y＝g(x)与曲线y＝1－x(x≤1)有两个交点；对于直线y＝231x－与曲线y＝32ln x(x>1)是否有交点以及交点的个数，由幂函数与对数函数的增长趋势来看，当x→＋∞1时，直线y＝g(x)的图象肯定在y＝ln x(x>1)的上方，又f(3)＝ln 3，g(3)＝，

2111∴f(3)＝ln 3＝ln 3>ln e＝，

222∴f(3)>g(3)，故两图象有4个交点．

5

(2)因为f(x)＋f(－x)＝2，y＝于点(0,1)对称，

mmx＋11x＋1＝1＋，所以函数y＝f(x)与y＝的图象都关xxx所以xi＝0，yi＝×2＝m，故选B．

2i＝1i＝1

1.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( A

) m

ln|x|A．f(x)＝

xeB．f(x)＝

xx1C．f(x)＝2－1

x1D．f(x)＝x＋

x1解析

由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B项，C项．若函数f(x)＝x＋，x则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D项，故选A．

ππ2．(2017·辽宁大连测试)函数f(x)＝2x－4sin x，x∈－，的图象大致是( D

) 22

解析

因为函数f(x)是奇函数，所以排除A项，B项．

f′(x)＝2－4cos x，x∈－，，

22ππ令f′(x)＝2－4cos x＝0，x∈－，，

22π得x＝±，故选D．

33．为了得到函数y＝log2x－1的图象，可将函数y＝log2x图象上所有点的( A

) 1A．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向右移1个单位

2ππ

6

1B．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向左移1个单位

2C．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左移1个单位

D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右移1个单位

1解析

把函数y＝log2x的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，得到函211数y＝log2x的图象，再向右平移1个单位，得到函数y＝log2(x－1)的图象，即函数y＝221log2(x－1)2

＝log2x－1的图象．

b，a－b≥1，4．对任意实数a，b定义运算“⊙”：a⊙b＝a，a－b<1，

设f(x)＝(x－1)⊙(42＋x)＋k，若函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则k的取值范围是( D

) A．(－2,1)

C．[－2,0)

2B．[0,1]

D．[－2,1) 4＋x，x≤－2或x≥3，解析

令g(x)＝(x－1)⊙(4＋x)＝2x－1，－2

其图象如图所示．

f(x)＝g(x)＋k的图象与x轴恰有三个交点即y＝g(x)与y＝－k的图象恰有三个交点，由图可知－1<－k≤2，即－2≤k<1，故选D．

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