习题3.1教学设计内容推荐

习题课:

3.1 函数与方程

一、课标要求与教材分析

1、课标要求：

结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

2、教材分析：函数的零点是沟通函数、方程、图像的重要媒介.函数与方程思想是最重要的数学思想之一，函数的零点与方程的根是考查函数与方程思想的重要载体。函数的零点是高考的热点之一，且常考常新，题型以选择、填空题为主，常与函数的图像和性质交汇命题，是数形结合思想的具体运用. 二、学情分析 学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．

三、教学目标 1.知识与技能目标：了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.了解二分法的基本思想;能够用二分法求相应方程的近似解;掌握方程的根与函数的零点之间的关系,体会函数的核心地位,形成用函数的观点处理数学问题的意识。

2.过程与方法目标：通过判断方程根的存在性及根的个数，提高学生的数学作图能力，培养学生的数形结合思想以及应用能力.通过主动探求处理该问题的规律,进一步体会数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想。

3.情感态度价值观目标：正面解决问题困难时，可通过与会的方法去解决。体验无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一。在探究解决问题的过程中，提倡同学间的主动合作、积极交流。

课时课题：函数与方程习题课第一课时

四、教学重点与教学难点：

教学重点：①

结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． ②

根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．

教学难点：了解函数的零点与方程根的联系，判断方程根的存在性及根的个数，能够用二分法求相应方程的近似解. 五、教学过程

知识结构

方程f(x)0的根

函数零点定义

函数的零点

函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标

定理应用

零点判定定理

数形结合求零点

二分法

知识梳理

1.函数的零点

(1)函数零点的定义：

对于函数yf(x)(xD)，把使 成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

(2)几个等价关系

方程f(x)0有实数根⇔函数yf(x)(xD)的图象与________有交点⇔函数yf(x)(xD)有________. 方程f(x)＝0的实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标⇔函数y＝f(x)的零点。

函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式。方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x轴交点的个数．

思考探究

1．是否任意函数都有零点？

提示：并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．

注：函数的零点不是点，是数，是方程f(x)＝0的根．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________________，那么函数yf(x)在区间__________内有零点，即存在c(a,b)，使得__________，这个______也就是f(x)0的根. 思考探究

2．在上面的条件下，(a，b)内的零点有几个？

提示：在上面的条件下，(a，b)内的零点至少有一个c，还可能有其他零点，个数不确定．

2.二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系

二次函数

Δ>0

Δ＝0

Δ<0 yax2bxc的图象

与x轴的交点

零点个数

无交点

3.二分法

对于在区间[a,b]上连续不断且________________的函数yf(x)，通过不断地把函数yf(x)的零点所在的区间____________，使区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 基础自测

1．若函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个零点，则实数m的取值范围是(

) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案：C 2.如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是(

)

A．①②

B．①③

C．①④

D．③④

答案：B 3.已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是_____．

答案：(-2,0) 考点1

函数零点的求解和判断

例1、(2013·唐山市高三年级统一考试)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间(

) A．(－1，0)

C．(1，2)

B．(0，1) D．(2，3)

解析：

∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1＞0，∴函数f(x)在R上单调递增，对于A项，

f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1＜0，f(0)＝－3＜0，f(－1)f(0)＞0，A不正确，

同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3＜0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2＞0，f(1)f(2)＜0，故选C. 答案：C 跟踪训练

x2－1，x≤1，1.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(

) 1＋log2x，x＞1，1A.，0

21C.

2

B．－2，0 D．0 解析：选D.当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解1得x＝2，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0，故选D. 答案：D 考点2

二分法

例2、若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数值如下：

f(1)＝－2

f(1.375)＝－0.260

f(1.5)＝0.625

f(1.437 5) ＝0.162

f(1.25)＝－0.984

f(1.406 25) ＝－0.054

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为________．

解析：

由参考数据知f(1.437 5)＞0，f(1.406 25)＜0，f(1.437 5)·f(1.406 25)＜0，且精确到0.1时，1.437 5≈1.4，1.406 25≈1.4，所以函数f(x)的一个零点的近似值是1.4，也就是方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根．

答案：

1.4 跟踪训练

用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为(

) A．(0,0.5)

f(0.25)

C．(0.5,1)

f(0.75)

B．(0,1)

f(0.25) D．(0,0.5)

f(0.125) 解析：本题是考查了利用二分法求零点的有关知识．

∵f(x)＝x3＋3x－1是R上的连接函数，且f(0)<0，f(0.5)>0，则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点．且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．

答案：A 规律小结：利用二分法求近似解需注意的问题：

(1)第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)、f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)＜0；

(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的．

转化与化归思想在解方程中的应用

11x例、(2012·高考北京卷)函数f(x)＝x2－2的零点的个数为(

) A．0

B．1 C．2

D．3 提示：函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点（个数）即为方程f(x)＝g(x)的根（个数），即函数y＝f(x)和y＝g(x)的交点（个数）的横坐标。

1x解析：函数f(x)＝x－的零点个数即为方程

21xx＝的根的个数，因此可以利用数形结合，

21x在同一坐标系内画出函数y＝x和函数y＝的图象，

21x两图象的交点个数即为f(x)＝x－的零点个数，如图所示，其零点个数为1. 2答案：B 【感悟提高】

解答本题利用了转化与化归、数形结合的思想．所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．本题是将函数零点转化为两函数图象的交点问题来求解．

跟踪训练

1．方程ln x－x2＋4x－4=0的根的个数为(

)

A．0

C．2

B．1 D．3 12121212答案：C

[利用图象知，有两个交点．故选C.]

[规律方法] 判断函数零点个数的常用方法

(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．

2x－2，x≤0，2.(2014·福建高考)函数f(x)＝的零点个数是________．

2x－6＋ln x，x>0

3.函数f(x)＝x－cos x在[0，＋∞)内(

) A．没有零点

B．有且仅有一个零点

C．有且仅有两个零点

D．有无穷多个零点

解析：

(1)令f(x)＝x－cos x＝0，则x＝cos x，设函数y＝x和y＝cos x，在同一坐标系下做出它们在[0，＋∞)的图象，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数f(x)＝x－cos x在[0，＋∞)内有且仅有一个零点．

4.

若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．

答案：

(1，＋∞) 课后练习

1设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(

) 2A．(3，4)

C．(1，2)

B．(2，3) D．(0，1) 提示：函数y＝f(x)和y＝g(x)的交点的横坐标，即方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根．

解析：选C.令g(x)＝x3－22－x，可求g(0)＜0，g(1)＜0，g(2)＞0，g(3)＞0，g(4)＞0,易知函数g(x)的零点所在区间为(1，2)．