复习参考题ppt配套的教学设计方案

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函数的图象与性质

[全国卷3年考情分析]

年份

卷别

卷Ⅰ

考查内容及考题位置

函数图象的识别·T8

复合函数的单调性、对称性·T9

复合函数的单调性·T8

函数的奇偶性、函数值的求解·T14

函数图象的识别·T7

分段函数、不等式的解法·T16

命题分析

1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等，主要考查求函数的定义域，分段函数函数值的求解或分段函数中参数的求解及函数图象的识别．题型多以选择题、填空题形式考查，一般出现在第8～11或第13～15题位置上，难度中等．

2．此部分内容有时出现在选择题、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题．

2017

卷Ⅱ

卷Ⅲ

2016 卷Ⅰ

函数图象的识别·T9

卷Ⅱ

对数函数的定义域、值域问题·T10

卷Ⅰ

分段函数的求值·T10

2015 卷Ⅱ

函数图象的识别·T11

函数图象与解析式的关系·T13

函数的概念及表示

[师生共研·悟通]

1．函数的三要素

定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．

2．分段函数

若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

[典例]

(1)(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(

) A．y＝x

C．y＝2x

B．y＝lg x

D．y＝1

x[解析]

选D

函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．结合选项知，只有函数y

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＝1的定义域与值域均为(0，＋∞)，故选D. xx12，x≤0，(2)(2017·广州综合测试)已知函数f(x)＝则f(f(3))＝(

) 1－logx，x>0，2＋

4A.

34C．－

32B．

3D．－3 2[解析]

选A

因为f(3)＝1－log23＝log2<0，

32244log2＝2log2＋1＝2log2＝. 所以f(f(3))＝f3333[类题通法]

1．函数定义域的求法

求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．

2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略

(1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．

(2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．

(3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．

(4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．

(5)利用函数性质求值：依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解．

[即学即用·练通]

1－x21．函数y＝2的定义域为(

) 2x－3x－2A．(－∞，1]

C．[1,2)∪(2，＋∞)

B．[－1,1]

11－1，－∪－，1

D.221－x2解析：选D

要使函数y＝2有意义，

2x－3x－21－x2≥0，则2解得1x≠2且x≠－，2x－3x－2≠0，

－1≤x≤1，2

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1即－1≤x≤1且x≠－，

211－1，－∪－，1. 所以该函数的定义域为22x＋1，x≤0，1x－>1的x的取值范2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝x则满足f(x)＋f22，x>0，

围是________．

11解析：由题意知，可对不等式分x≤0,0讨论．

2211当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，

241∴－1，显然成立．

2211当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．

221－，＋∞. 综上可知，x的取值范围是41－，＋∞

答案：41－2ax＋3a，x<1，3．已知函数f(x)＝x－1的值域为R，则实数a的取值范围是2，x≥1

________．

解析：当x≥1时，f(x)＝2x1≥1，

－1－2ax＋3a，x<1，∵函数f(x)＝x－1的值域为R，

2，x≥11－2a>0，∴当x<1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则解1－2a＋3a≥1，

1得0≤a＜. 210，

答案：2函数的图象及应用

[师生共研·悟通]

函数图象的4种变换方式

(1)平移变换

①水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单

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位而得到．

②竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．

(2)对称变换

①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称；

②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称；

③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．

(3)伸缩变换

①y＝af(x)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变而得到；

1②y＝f(ax)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的a，纵坐标不变而得到．

(4)翻折变换

①作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，其余部分不变，即得到y＝|f(x)|的图象；

②作出y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得到y＝f(|x|)的图象．

sin x[典例]

(1)(2017·全国卷Ⅲ)函数y＝1＋x＋2的部分图象大致为(

) x

[解析]

选D

法一：易知函数g(x)＝x＋所以函数y＝1＋x＋D. sin xsin x法二：当x→＋∞时，2→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋2→＋∞，故排除选项B.当0xxsin xπ＜x＜时，y＝1＋x＋2＞0，故排除选项A、C.选D. 2x(2)(2017·合肥模拟)函数f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若f(g(x))≥0对x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是(

) A．[－e，＋∞)

B．[－ln 2，＋∞) sin x是奇函数，其函数图象关于原点对称，x2sin x的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选x2

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1－，0

C．[－2，＋∞)

D.2[解析]

选C

如图所示，在同一坐标系中作出y＝x2＋1，y＝2x，33y＝x2＋的图象，由图象可知，在[0,1]上，x2＋1≤2x

[类题通法]

寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．

[即学即用·练通]

1x－xcos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(

) 1．(2017·惠州三调)函数f(x)＝

1x－xcos x(－π≤x≤π且x≠0)为奇函数，排除选项A、B；解析：选D

函数f(x)＝11π－cos π＝－π<0，排除选项C，故选D. 当x＝π时，f(π)＝ππ2．已知函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的图象可能是(

)

解析：选B

函数f(x－1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f(x)的图象，因为函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x－1)的图象关于原点对称，所以函数f(x)的图象关于点(－1,0)对称，排除A、C、D，选B. 3．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．

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解析：函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象1只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－. 21答案：－

2函数的性质及应用

[师生共研·悟通]

1．判断复合函数单调性的常用结论

(1)当f(x)，g(x)同时为增(减)函数时，f(x)＋g(x)为增(减)函数．

(2)设f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于0时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于0时，f(x)·g(x)是减(增)函数．

2．函数奇偶性的重要结论

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．

(2)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0. [注意]

f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．

3．周期性的3个常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；

(2)若f(x＋a)＝1，则T＝2a；

fx1，则T＝2a.(a>0) fx(3)若f(x＋a)＝－[典例]

(1)(2018届高三·广西三市第一次联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a满足f(2log3a)>f(－2)，则a的取值范围是(

) A．(－∞，3)

C．(3，＋∞)

B．(0，3) D．(1，3) [解析]

选B

∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，

∴f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．

根据函数的对称性，可得f(－2)＝f(2)，

∴f(2log3a)>f(2)．

∵2log3a>0，f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，

1∴0<2log3a<2，即log3a<，解得0

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(2)(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6x，则f(919)＝________. －[解析]

∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，

∴f(x)的周期为6，

∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．

又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6. [答案]

6 [类题通法]

1．判断函数单调性的4个技巧

(1)对于选择、填空题若能画出图象一般用数形结合法．

(2)对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题．

(3)对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数用导数法．

(4)对于抽象函数一般用定义法．

2．函数奇偶性的3个特点

(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．

(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．

(3)对于偶函数而言，有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

[即学即用·练通]

1．已知函数f(x)＝ln(|x|＋1)＋x2＋1，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(

) 1A.3，1

C．(1，＋∞)

1－∞，∪(1，＋∞) B.31－∞，

D.3解析：选A

易知函数f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)＋x2＋1是增函数，1∴使得f(x)>f(2x－1)成立的x满足|2x－1|<|x|，解得

) A．a

C．b

B．c

D．b

解析：选C

由f(x)为奇函数，知g(x)＝xf(x)为偶函数．

因为f(x)在R上单调递增，f(0)＝0，

所以当x>0时，f(x)>0，

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所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(x)>0. 又a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，

20．8<2＝log24

所以b

) A．1－e

B．e－1 C．－1－e

D．e＋1 解析：选A

∵y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，

∴y＝f(x)的图象关于原点对称，∴f(－x)＝－f(x)，

又当x≥0时，f(x＋2)＝f(x)，∴f(2 018)＋f(－2 017)＝f(0)－f(1)＝0－(e－1)＝1－e. [创新应用]

新定义下的函数问题

新定义函数问题主要包括两类：

1概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素定义域、对应关系、值域作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；

2性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力. [典例]

(1)(2017·山东高考)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．

①f(x)＝2x；②f(x)＝3x；③f(x)＝x3；

－－④f(x)＝x2＋2. [解析]

设g(x)＝exf(x)，对于①，g(x)＝ex·2x，

－则g′(x)＝(ex·2x)′＝ex·2x(1－ln 2)>0，

－－所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，故①符合要求；

对于②，g(x)＝ex·3x，

－则g′(x)＝(ex·3x)′＝ex·3x(1－ln 3)<0，

－－所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，故②不符合要求；

对于③，g(x)＝ex·x3，

则g′(x)＝(ex·x3)′＝ex·(x3＋3x2)，

显然函数g(x)在(－∞，＋∞)上不单调，故③不符合要求；

对于④，g(x)＝ex·(x2＋2)，

则g′(x)＝[ex·(x2＋2)]′＝ex·(x2＋2x＋2)＝ex·[(x＋1)2＋1]>0，

所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，故④符合要求．

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综上，具有M性质的函数的序号为①④. [答案]

①④

(2)如果定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”．给出下列函数：

①y＝－x3＋x＋1；

②y＝3x－2(sin x－cos x)；

③y＝ex＋1；

ln|x|，x≠0，④f(x)＝

0，x＝0.

以上函数是“H函数”的序号是________．

[解析]

若函数f(x)为“H函数”，则有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，x1[f(x1)－f(x2)]>x2[f(x1)－f(x2)]，即(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0. 所以“H函数”f(x)就是R上的单调递增函数．

①y′＝－3x2＋1，由y′>0，解得－所以该函数的单调递增区间为－而在区间－∞，－33

3333，

，3333和，＋∞上单调递减，

33显然在R上不是单调递增函数，即不是“H函数”．

πx＋. ②y′＝3－2(cos x＋sin x)＝3－22sin4πx＋∈[－1,1]，

因为sin4πx＋≥3－22>0，

所以y′＝3－22sin4故该函数在R上是单调递增函数，即“H函数”．

③因为函数y＝ex在R上是单调递增函数，

所以y＝ex＋1在R上也是单调递增函数，即“H函数”．

ln|x|，x≠0，④由f(x)＝得f(x)＝ln－x，x<0，0，x＝0，

ln x，x>0，0，x＝0.

故该函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，

所以在R上不是单调递增函数，即不是“H函数”．

综上，填②③. [答案]

②③

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[类题通法]

解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后把其转化为熟悉的数学问题求解．如本例(1)通过对函数f(x)所具有M性质的理解，将问题转化为判定函数是否具有此性质；本例(2)以函数的单调性问题作为背景，显然“H函数”的特征——“x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)”的实质就是函数单调性定义式的一个变形，所以解决此类问题的关键是灵活转化条件，将其转化为常见的、熟悉的数学式子，这样就可以借助学习过的数学知识来解决．

[针对训练]

21－x，0≤x≤1，1．已知函数f(x)＝如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝f{f[f…f

n个x－1，1

(x)]}，那么f2 017(2)的值为(

) A．0

C．2

B．1 D．3 解析：选B

∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，∴fn(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2 017(2)＝f3×672＋1(2)＝f1(2)＝1. 2．若函数f(x)满足：在定义域D内存在实数x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，则称函数f(x)为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：

1①f(x)＝；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；

x④f(x)＝cos(πx)．

其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为(

) A．①③

C．①②

B．②④

D．③④

11解析：选B

对于①，若存在实数x0，满足f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)，则＝＋1，所x0＋1x0以x20＋x0＋1＝0(x0≠0，且x0≠－1)，显然该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；

对于②，若存在实数x0，满足f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)，则2x0＋1＝2x0＋2，解得x0＝1，因此②是“1的饱和函数”；

2对于③，若存在实数x0，满足f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)，则lg[(x0＋1)2＋2]＝lg(x20＋2)＋lg(1＋2)，化简得2x20－2x0＋3＝0，显然该方程无实根，因此③不是“1的饱和函数”；

14π1＋1＝cos ＝－，

对于④，注意到f3321π1f＋f(1)＝cos＋cos π＝－，

332

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11即f3＋1＝f3＋f(1)，因此④是“1的饱和函数”．

综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④.