多项式乘以多项式ppt课件课堂实录

多项式乘以多项式

1.通过探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程,在具体情境中了解多项式与多项式相乘的意义,理解运算法则.

2.会利用法则进行多项式与多项式的乘法运算.

理解多项式乘多项式运算的算理,发展学生有条理的思考能力和语言表达能力.

在探索多项式与多项式乘法运算法则的过程中,获得成就感,激发学习数学的兴趣.

【重点】

多项式与多项式相乘的运算法则及应用.

【难点】

灵活运用多项式与多项式相乘的运算法则.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P18~19.

导入一:

问题1 1.如何进行单项式乘多项式的运算?你能举例说明吗?

2.计算.

222(1)(3mn)·(m+mn- n);

2(2)2a- a(2a- 5b)- b(2a- b).

[处理方式]

教师提出问题,引导学生复习上节课所学的单项式乘多项式.大多数学生能够熟练说出单项式乘多项式的运算法则,通过练习发现个别学生在计算时出错,主要是第(2)小题中的符号处理出现错误.通过教师与学生共同订正,使学生的认识有进一步的提高.

[设计意图]

单项式乘多项式运算是多项式乘多项式运算的基础,所以帮助学生回忆单项式乘多项式的运算非常必要.课前通过单项式乘多项式的热身活动,帮助学生唤起对旧知识的记忆,重温探索法则的过程中所积累的活动经验.

问题2

小明家承包了一块如图所示的长方形基地,准备在这块地上种四种不同的蔬菜,你能用几种方法表示这块地的面积?

生1:这是一个长方形,面积应为长乘宽,即(m+b)(a+n).

生2:还可以看成是四个小长方形的面积和,即ma+mn+ab+bn.

师:同学们观察得很仔细,通过这两种方法计算这块地的面积,你有什么新的发现?这就是我们这节课所要学习的内容——多项式乘多项式.

[设计意图]

利用图形学生很容易得到不同的答案,激发学生的学习兴趣.

导入二:

[过渡语]

本节课首先请同学们来做一个拼图游戏,大家有没有兴趣?

请同学们拿出准备好的长方形卡片,选取其中的两张,用它们拼成更大的长方形,尽可能采用多种拼法.

[处理方式]

小组合作拼图.

【思考】

问题1 分别列代数式表示所拼成长方形的面积,你能发现什么?并说出其中包含什么运算.

展示学生拼图:

(1)拼出的长方形如图(1)所示,面积为m(a+n)=ma+mn,含有单项式乘多项式运算.

(2)拼出的长方形如图(2)所示,面积为m·2n=2mn,含有单项式乘单项式运算.

(3)拼出的长方形如图(3)所示,面积为b(a+n)=ba+bn,含有单项式乘多项式运算.

(4)拼出的长方形如图(4)所示,面积为n(m+b)=nm+nb,含有单项式乘多项式运算.

(5)拼出的长方形如图(5)所示,面积为a(m+b)=am+ab,含有单项式乘多项式运算.

问题2 将四个图形进一步摆拼,会得到更大的长方形,试一试,也许你们会有新的发现.

拼出的长方形如图所示,面积为(m+b)(a+n),含有多项式乘多项式运算.

师:(m+b)(a+n)运算的结果是什么?这就是我们本节课所要研究的多项式乘多项式的运算.

[设计意图]

此环节让学生在小组内合作完成,增强了趣味性,以上设计将拼图游戏分为两个层次,首先让学生选择两个图形摆拼,得出单项式乘单项式运算及单项式乘多项式运算,一方面是对前两节课单项式乘单项式运算及单项式乘多项式运算的几何解释及法则的复习,更重要的是为本节课用这种方法探究多项式乘多项式的运算打下基础.在活动中培养了学生的观察、操作能力.

探究活动1

多项式乘多项式的运算法则

思路一

某校为了迎接省级规范化学校验收,领导决定扩大学校中心花园的绿地面积.如图所示,把一块原长a米、宽m米的长方形绿地增长了b米,加宽了n米.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积?

[处理方式]

让学生先观察图形,小组讨论后回答,然后教师板书出学生得到的结果,即:

方法1:先分别求出四个小长方形的面积,再求它们的和,即(am+an+bm+bn)平方米.

方法2:先计算大长方形的长和宽,然后利用长乘宽得出大长方形的面积,即(a+b)(m+n)平方米.

由于上述两种计算结果表示的是同一个量,因此(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.

讨论(a+b)(m+n)展开的结果.(教师适当提醒)

(1)把(a+b)看成一单项式时,(a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=am+bm+an+bn.

(2)把(m+n)看成一单项式时,(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn.

师生共同归纳:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

用公式表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.

[设计意图]

通过老师的提示把其中一个多项式当成一个整体变成单项式乘多项式,把未知一步一步转化为已掌握的知识,让学生认识知识的产生过程,加深对知识的理解,通过用文字语言表示法则,训练学生语言表达能力,也是字母语言向文字语言的转化,进一步体会转化的思想.

思路二

问题1 如图(1)所示的是一个长和宽分别为m,n的长方形绿化带,如果它的长和宽分别增加a,b,所得长方形绿化带(如图(2)所示)的面积可以怎样用代数式表示?

[处理方式]

学生独立思考后,全班交流,主要产生了以下四种解法.

方法一:长方形的长变为(m+a),宽变为(n+b),所以面积可以表示为(m+a)(n+b).

方法二:长方形可以看做是由上、下两个长方形组成的,上面的长方形面积为b(m+a),下面的长方形面积为n(m+a),这样长方形的面积就可以表示为n(m+a)+b(m+a),根据上节课单项式乘多项式的法则,可知结果等于nm+an+bm+ba.

方法三:长方形可以看做是由左、右两个长方形组成的,左边的长方形面积为m(b+n),右边的长方形面积为a(b+n),这样长方形的面积就可以表示为m(b+n)+a(b+n),根据上节课单项式乘多项式的法则,可知结果等于mb+mn+ab+an.

方法四:长方形可以看做是由四个小长方形拼成的,四个小长方形的面积分别为mn,mb,an,ab,所以长方形的面积可以表示为mb+mn+ab+an.

将四种方法的过程板书到黑板上,由于求的是同一个长方形的面积,于是我们得到:

(m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a)=m(b+n)+a(b+n)=mb+mn+ab+an.

式子的最左边是两个多项式相乘,最右边是相乘的结果,由此得到多项式与多项式的乘法法则.

[设计意图]

引导学生通过观察、实验、类比、归纳获得数学猜想.在上一课时中,学生已经有了利用图形面积探究法则的经验,因此用不同方法计算同一图形面积猜想出多项式乘法法则并不困难.

问题2 教师设置三个层层递进的问题:

1.你能说出(m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a)这一步运算的道理吗?

2.结合算式(m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab,你能说说如何进行多项式与多项式相乘的运算吗?

3.归纳总结多项式与多项式相乘的运算法则.

[处理方式]

学生独立思考,顺利完成前两个问题.在教师的启发引导下,学生归纳总结,得到多项式乘多项式的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

[设计意图]

学生利用图形面积得出数学猜想,进一步进行验证,发展推理能力.这里设置了三个层层递进的思考题,目的是进一步加强学生对算理的认识.问题1设置的比较简单,学生很容易答出把(m+a)看做是一个整体,利用单项式乘多项式法则或者利用乘法分配律即可得到.设置问题2的目的是以具体的题目为依托,直观总结如何进行多项式与多项式相乘的运算,为下一步抽象概括多项式乘多项式的法则做好铺垫,扫清障碍.

探究活动2

多项式乘多项式法则的应用

[过渡语]

同学们已经明确了多项式乘多项式的法则,你能运用所学的知识解决下列问题吗?

1.例题讲解.

(教材例3)计算.

(1)(1- x)(0.6- x);

(2)(2x+y)(x- y).

[处理方式]

先让学生说出(1)的过程,老师板书,再找学生板书(2)的过程.教师巡视批阅,根据巡视中发现的问题进行有针对性的讲解.

教师板书(1)的解题过程:

(1)(1- x)(0.6- x)

2=1×0.6- 1×x- x×0.6+x

=0.6- x- 0.6x+x

2=0.6- 1.6x+x.

学生板书(2)的解题过程:

(2)(2x+y)(x- y)

2=2x·x- 2xy+yx- y

22=2x- 2xy+xy- y

22=2x- xy- y.

2.例题仿练.

计算:(x- 3y)(x+3y).

[处理方式]

学生自主思考问题后,两生板演,教师巡视批阅,点拨有困难的学生进行解题,根据巡视中发现的问题进行有针对性的讲解.

学生板书:

(x- 3y)(x+3y)

=x·x+x·3y- 3y·x- 3y·3y

22=x+3xy- 3xy- 9y

22=x- 9y.

3.总结强调.

运用多项式与多项式相乘的法则时应注意:

(1)多项式与多项式相乘,要防止漏项;

(2)由于运算量较大,书写繁杂,所以应特别注意符号问题,多项式的每一项都包含它前面的符号;

(3)多项式乘多项式,仍得多项式;

(4)最后的结果应合并所有的同类项.

[知识拓展]

1.要正确理解法则中的两个“每一项”的含义.

2.多项式与多项式相乘,在合并同类项之前,积的项数是两个多项式的项数之积,例如二项式乘三项式,其积在没合并同类项前是六项.

1.多项式的乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

2.运用多项式与多项式相乘的法则时应注意:

(1)多项式与多项式相乘,要防止漏项;

(2)由于运算量较大,书写繁杂,所以应特别注意符号问题,多项式的每一项都包含它前面的符号;

(3)多项式乘多项式,仍得多项式;

(4)最后的结果应合并所有的同类项.

1.已知(x+3)(x- 8)=x+px+q,则p=

,q=

.

222解析:因为(x+3)(x- 8)=x- 8x+3x- 24=x- 5x- 24=x+px+q,所以p=- 5,q=- 24.

答案:- 5

- 24 2.计算:(2a- 3b)(a+5b).

解:(2a- 3b)(a+5b)

22=2a+10ab- 3ab- 15b

22=2a+7ab- 15b.

3.计算:(3a- 2)(a- 1)- (a+1)(a+2).

解:(3a- 2)(a- 1)- (a+1)(a+2)

22=3a- 3a- 2a+2- (a+3a+2)

22=3a- 5a+2- a- 3a- 2 2=2a- 8a.

24.先化简,再求值:(a+2b)+(b+a)(b- a),其中a=- 1,b=2.

2解:(a+2b)+(b+a)(b- a)

22=(a+2b)(a+2b)+b- a

2222=a+4ab+4b+b- a

2=5b+4ab.

当a=- 1,b=2时,原式=12.

22

探究活动1

多项式乘多项式的运算法则

探究活动2

多项式乘多项式法则的应用

例题

第3课时

【必做题】

教材第19页习题1.8知识技能第1题.

【选做题】

教材第19页习题1.8问题解决第2题.