1.1 集合的含义及其表示多媒体教学设计及其点评

第1课时

集合的含义

学习目标

1.通过实例理解集合的有关概念.2.初步理解集合中元素的三个特性.3.体会元素与集合的属于关系.4.了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示有关数学对象．

知识点一

集合的概念

思考

有首歌中唱道：“他大舅他二舅都是他舅”你能从集合的角度解读一下这句话吗？

梳理

(1)一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．常用大写字母拉丁A，B，C，…来表示．

(2)集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．

集合的元素常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．

知识点二

元素与集合的关系

1思考

1是整数吗？是整数吗？

2

梳理

元素与集合的关系有两种，分别为__________、__________，数学符号分别为______、______.

知识点三

元素的三个特性

思考1

某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？

思考2

构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？

思考3

“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？

梳理

元素的三个特性是指________、________、________. 知识点四

常用数集及表示符号

名称

符号

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

类型一

判断给定的对象能否构成集合

例1

观察下列每组对象能否构成一个集合．

(1)不超过20的非负数；

(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；

(3)某校2015年在校的所有高个子同学；

(4)3的近似值的全体．

反思与感悟

判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．

跟踪训练1

下列各组对象可以组成集合的是________．(填序号) ①数学必修1课本中所有的难题；

②小于8的所有素数；

③直角坐标平面内第一象限的一些点；

④所有小的正数．

类型二

元素与集合的关系

命题角度1

判定元素与集合的关系

例2

给出下列关系：

1①∈R；②2∉Q；③|－3|∉N；④|－3|∈Q；⑤0∉N.其中正确的为________．(填序号) 2反思与感悟

要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．

跟踪训练2

用符号

“∈”或“∉”填空．

－2________R；－3________Q；

－1________N；π________Z. 命题角度2

根据已知的元素与集合的关系推理

6例3

集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．

3－x

反思与感悟

判断元素和集合关系的两种方法

(1)直接法

①使用前提：集合中的元素是直接给出的．

②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．

(2)推理法

①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．

②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素

所具有的特征．

跟踪训练3

已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A,2∈A，则a的取值范围是____________．

类型三

元素的三个特性的应用

例4

已知集合A中有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B中也有三个元素：0,1，x. (1)若－3∈A，求a的值；

(2)若x2∈B，求实数x的值；

(3)是否存在实数a，x，使A＝B.

反思与感悟

(1)元素的无序性主要体现在

①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；

②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．

(2)元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．

跟踪训练4

已知集合A只含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．

1．下列给出的对象中，能组成集合的是________．(填序号) ①一切很大的数；

②好心人；

③漂亮的小女孩；

④方程x2－1＝0的实数根．

2．下面说法正确的是________．(填序号) ①所有在N中的元素都在N*中；

②所有不在N*中的数都在Z中；

③所有不在Q中的实数都在R中；

④方程4x＝－8的解既在N中又在Z中．

3．由“book”中的字母构成的集合中元素的个数为________．

4．设函数y＝x2－2x－1图象上的点构成集合A，则点(0，－1)________A. 5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为________．

1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．

2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A. 3．集合中元素的三个特性

(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．

(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．

(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．

答案精析

问题导学

知识点一

思考

“某人的舅”是一个集合，某人的大舅、二舅都是这个集合中的元素．

知识点二

1思考

1是整数；不是整数．

2梳理

属于

不属于

∈

∉

知识点三

思考1

某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．

思考2

2个．集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性．

思考3

两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性．

梳理

确定性

互异性

无序性

知识点四

N

N*或N＋

Z

Q

R

题型探究

例1

解

(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．

(2)能构成集合．

(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．

(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数，如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．

跟踪训练1

②

解析

①中“难题”的标准不确定，不能构成集合；②能构成集合；③中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；④中没有明确的标准，所以不能构成集合．

例2

①②

跟踪训练2

∈

∈

∉

∉

例3

0,1,2

6解析

∵x∈N，∈N，

3－x∴0≤x≤2且x∈N. 66当x＝0时，＝＝2∈N；

3－x366当x＝1时，＝＝3∈N；

3－x3－166当x＝2时，＝＝6∈N. 3－x3－2∴A中元素有0,1,2. 跟踪训练3

(－4，－2] 解析

∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2. 又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，

∴－4

解

(1)由－3∈A且a2＋1≥1，

可知a－3＝－3或2a－1＝－3，

当a－3＝－3时，a＝0；

当2a－1＝－3时，a＝－1. 经检验，0与－1都符合要求．

∴a＝0或－1. (2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，

但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1. (3)显然a2＋1≠0. 由集合元素的无序性，

只可能a－3＝0或2a－1＝0. 若a－3＝0，则a＝3，

A＝{a－3,2a－1，a2＋1} ＝{0,5,10}≠B. 1若2a－1＝0，则a＝，

2A＝{a－3,2a－1，a2＋1} 55＝{0，－，}≠B. 24故不存在这样的实数a，x，使A＝B. 跟踪训练4

解

若1∈A，则a＝1或a2＝1，故a＝1或－1. 当a＝1时，集合A有重复元素，

∴a≠1；

∴当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合题意，

∴a＝－1. 当堂训练

1．④

2.③

3.3

4.∈

5．3 解析

由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；

若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，

当m＝0时，与m≠0相矛盾，

当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．