2.1.2 函数的表示方法教学设计(第二课时)

函数及其表示复习课一

目标：

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数. 一、知识梳理

1．函数的基本概念

(1)函数的定义

设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．

(3)函数的三要素：定义域、对应法则和值域．

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

(5)分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

2．函数定义域的求法

类型

2nfx，n∈N*

x满足的条件

f(x)≥0 f(x)≠0 f(x)>0 f(x)>0，f(x)≠1，g(x)>0 πf(x)≠kπ＋，k∈Z

2a≤g(x)≤b的解集

各个函数定义域的交集

使实际问题有意义

1与[f(x)]0

fxlogaf(x)(a>0，a≠1)

logf(x)g(x)

tan f(x)

f(g(x))(f(x)定义域为[a，b])

四则运算组成的函数

实际问题

3.函数解析式的求法

求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) x2(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．(

×

) x(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(

×

) (3)若函数f(x)的定义域为{x|1≤x<3}，则函数f(2x－1)的定义域为{x|1≤x<5}．(

×

) 1－x2

－1≤x≤1，(4)f(x)＝

x＋1

x>1或x<－1，1－x2

－1≤x≤1，则f(－x)＝(

√

) －x＋1

x>1或x<－1.(5)函数是特殊的映射．(

√

) (6)函数f(x)＝x2＋3＋1的值域是{y|y≥1}．(

×

) 二、题型分类

题型一

函数的概念

例1

有以下判断：

1

x≥0，|x|①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；

x－1

x<0

②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；

③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；

1＝0. ④若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff2其中正确判断的序号是________．

答案

②③

1

x≥0，|x|解析

对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝x－1

x<0

的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，1f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f211f1＝f(0)＝1. －1－＝＝0，所以f222综上可知，正确的判断是②③. 思维升华

函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同

的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)．

(1)下列各组函数中，表示同一函数的是________．

①f(x)＝|x|，g(x)＝x2；

②f(x)＝x2，g(x)＝(x)2；

x2－1③f(x)＝，g(x)＝x＋1；

x－1④f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x2－1. (2)下列四个图象中，是函数图象的是________．

答案

(1)①

(2)①③④

解析

(1)①中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)．

②中，f(x)＝|x|(x∈R)，g(x)＝x (x≥0)，

∴两函数的定义域不同．

③中，f(x)＝x＋1 (x≠1)，g(x)＝x＋1(x∈R)，

∴两函数的定义域不同．

④中，f(x)＝x＋1·x－1(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定义域为{x|x≥1}；

g(x)＝x2－1(x2－1≥0)，

g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．

∴两函数的定义域不同．故选①. (2)由每一个自变量x对应唯一一个f(x)可知②不是函数图象，①③④是函数图象．

题型二

求函数的解析式

2例2

(1)已知f(＋1)＝lg x，则f(x)＝________. x(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________. 1(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()x－1，则f(x)＝________. x答案

(1)lg221(x>1)

(2)2x＋7

(3)x＋

33x－1

22解析

(1)(换元法)令t＝＋1(t>1)，则x＝，

xt－1∴f(t)＝lg22，即f(x)＝lg(x>1)．

t－1x－1(2)(待定系数法) 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，

即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，

a＝2，a＝2，∴解得

b＋5a＝17，b＝7，

∴f(x)＝2x＋7. (3)(消去法) 11在f(x)＝2f()x－1中，用代替x，

xx11得f()＝2f(x)－1，

xx12fx1将f()＝－1代入f(x)＝2f()x－1中，

xxx21可求得f(x)＝x＋. 33思维升华

函数解析式的求法：

(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；

(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；

1(4)消去法：已知f(x)与fx或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________. (2)(2013·安徽)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________. 1(3)已知f(x)满足2f(x)＋f()＝3x，则f(x)＝________. x答案

(1)x2－1(x≥1)

(2)－xx＋11

(3)2x－(x≠0) 2x解析

(1)设x＋1＝t(t≥1)，则x＝t－1. 代入f(x＋1)＝x＋2x，

得f(t)＝t2－1(t≥1)，

∴f(x)＝x2－1(x≥1)．

(2)当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，

11由已知f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1)．

221(3)把题目中的x换成，

x13得2f()＋f(x)＝，

xx联立方程132f＋fx＝，

②xx1即f(x)＝2x－(x≠0)．

x方法与技巧

12fx＋f＝3x，

①x

3①×2－②得3f(x)＝6x－(x≠0)．

x1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应法则是否相同．

2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．

3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法．