2.2.2 函数的奇偶性ppt配套的教学设计及说课稿

2．2.2

函数的奇偶性

预习课本P41～43，思考并完成以下问题

(1)奇函数和偶函数的定义分别是什么？

(2)奇、偶函数定义域有什么特点？

(3)奇、偶函数图象具有什么特征？

1.新知初探

奇函数

偶函数

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A

定义

如果对任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，如果对任意的x∈A，都有f(－x)＝那么称函数y＝f(x)是奇函数

图象特点

奇偶性

图象关于原点对称

f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数

图象关于y轴对称

如果函数是奇函数或偶函数，就说函数f(x)具有奇偶性

[点睛]

(1)函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质．

(2)如果函数的定义域不关于原点对称，那么该函数就不具有奇偶性．所以函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．

(3)若函数y＝f(x)图象关于原点(y轴)对称，则f(x)必是奇(偶)函数．

2.小试身手

1．判断．(对的打“√”，错的打“×”) 1(1)若函数f(x)＝－x2，x∈2，则f(x)是偶函数．( ) (2)若函数f(x)＝，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．( ) (3)若函数f(x)＝x0，则f(x)是奇函数．( ) (4)若函数f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数．( ) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

2．若函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，则f(－2)和f(2)的大小关系为________．

答案：f(－2)＝f(2) 3．若函数f(x)＝2x＋b是奇函数，则b＝________.

答案：0 4．若函数y＝x2＋mx的图象关于y轴对称，则m＝____________. 答案：0 3.函数奇偶性的判断

[典例]

判断下列函数的奇偶性．

1(1)f(x)＝2x＋x； (2)f(x)＝2－|x|；

x(3)f(x)＝＋；

(4)f(x)＝x－1. [解]

(1)∵函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，

11又f(－x)＝－2x＋－x＝－x＝－f(x)．

∴f(x)为奇函数．

(2)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，

又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

(3)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，

且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，

∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

(4)显然函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，

∴f(x)是非奇非偶函数．

判断函数奇偶性的步骤

(1)看函数的定义域是否关于原点对称(若不对称则为非奇非偶函数)；

(2)判断f(－x)与f(x)的关系；

(3)根据定义，写出结论，

①若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数．

②若f(－x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数．

③若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数．

④若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．

(4)对能化简的解析式要先化简再判断．

[活学活用]

判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x2(x2＋2)；

(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；

1－x2(3)f(x)＝x. 解：(1)∵x∈R，关于原点对称，

又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

(2)∵x∈R，关于原点对称，

又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，

1－(－x21－x2又∵f(－x)＝－x＝－x＝－f(x)．

∴f(x)为奇函数. 4.奇(偶)函数的图象性质

[典例]

(1)定义在[－4,4]上的偶函数y＝f(x)在[－4,0]上的图象如图．作出y＝f(x)的图象并比较f(1)和f(3)的大小；

(2)已知奇函数f(x)定义域为[－5,5]且在[0,5]上的图象如图所示，求使f(x)<0的x的取值范围．

[解]

(1)根据偶函数图象关于y轴对称的性质画出函数在y轴右侧的图象如图，由图象可知f(3)>f(1)．

(2)根据奇函数图象关于原点对称的性质画出函数在[－5,0]上的图象如图，由图象可知使f(x)<0的x取值范围是(－3,0)∪(3,5]．

给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0)．

[活学活用]

如图给出了奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－4)＝________. 答案：－2 5.函数奇偶性的应用

题点一：根据函数的奇偶性求参数

x1．若f(x)＝(2x＋1(x－a为奇函数，则实数a的值为________．

解析：∵f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

－xx即(－2x＋1(－x－a＝－(2x＋1(x－a，

∴(－2x＋1)(－x－a)＝(2x＋1)(x－a)，

即2x2＋(2a－1)x－a＝2x2＋(1－2a)x－a，

1∴2a－1＝1－2a，解之得a＝2. 1答案：2

2．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝________. 解析：∵f(x)是偶函数的定义域关于原点对称，

1∴a－1＋2a＝0，解得a＝3，

1∴f(x)＝3x2＋bx＋1＋b，

又f(－x)＝f(x)，

11∴3x2－bx＋1＋b＝3x2＋bx＋1＋b，

1∴b＝0，∴a＋b＝3. 1答案：3

题点二：利用函数奇偶性求函数解析式

3．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.则f(x)在R上的表达式为________．

解析：设x<0，则－x>0，

∵x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，

∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，

又f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x－3，

取x＝0，则f(0)＝0. 0， x＝0，∴f(x)＝－x2－2x－3， x<0.

0， x＝0，答案：f(x)＝－x2－2x－3， x<0

4．若f(x)和g(x)是定义在R上的函数，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝1x2－x＋1，则f(x)的解析式为________．

1解析：由题意得：f(－x)＋g(－x)＝(－x2－(－x＋1，

因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，

1所以－f(x)＋g(x)＝x2＋x＋1，

1由，

11解得f(x)＝2x2＋x＋1. 11答案：f(x)＝2x2＋x＋1

题点三：函数奇偶性和单调性的综合应用

5．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．

解：由f(m)＋f(m－1)>0，

得f(m)>－f(m－1)，又函数f(x)为奇函数，

∴f(1－m)

又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，

∴f(x)在[－2,2]上为减函数．

－2≤m≤2，1∴1－m＞m.即.

1解得－1≤m＜2. 1故实数m的取值范围为2

(1)利用函数奇偶性求函数解析式的步骤：

①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；

②转化到已知区间上，代入已知的解析式；

③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，

从而解出f(x)．

(2)由奇函数的定义可知，奇函数f(x)在x＝0处有定义时，一定有f(0)＝0. (3)解决有关奇偶性与单调性的综合问题，要注意利用奇偶性进行化简，奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，同时不能漏掉函数定义域对参数的影响．