平方差公式的应用ppt课件配套教案内容

《1.5平方差公式》教案

一、教学目标：

1.了解平方差公式的几何背景.

2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.

3.体会符号运算对证明猜想的作用.

二、教学重难点：

重点：平方差公式的几何解释和广泛的应用.

难点：准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.

三、教学准备

多媒体课件

四、教学方法

观察分析法、探究归纳法、合作学习法；

五、教学过程：

（一）类比引入

［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.这个正方形的面积是多少？

［生］a2.

［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1－23）.现在我们就有了一个新的图形（如上图阴影部分），你能表示出阴影部分的面积吗？

图1－23 ［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为（a2－b2）.

［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.

（教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法）

［生］老师，我们拼出来啦.

［师］讲给大伙听一听.

［生］我是把剩下的图形（即上图阴影部分）先剪成两个长方形（沿上图虚线剪开），我们可以注意到，上面的大长方形宽是（a－b），长是a；下面的小长方形长是（a－b），宽是b.

我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是（a－b），我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形（阴影部分），它的长和宽分别为（a+b），（a－b），面积为（a+b）（a－b）.

图1－24 ［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？

［生］这两部分面积应该是相等的，即（a+b）（a－b）=a2－b2.

［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.

［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.

［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.

［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学***方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用.

想一想：

（1）计算下列各组算式，并观察它们的特点.

79

881113

12127981

8080（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？

（3）请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？

［生］（1）中算式算出来的结果如下：

7963

88641113143

121214479816399

80806400［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.

［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？

［生］我猜想是.我又找了几个例子如：

133

224991019999

100100100002426624

2525625［师］你能用字母表示这一规律吗？

［生］设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数a－1，a+1，则有（a+1）（a－1）=a2－1.

［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.

［生］可是，我有一个疑问，a必须是一个自然数，还必须大于2吗？

（同学们惊讶，然后讨论）

［生］a可以代表任意一个数.

（二）思考讨论

例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为（30－1）（30+1）=302－1=900－1=899.

［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了.我们不妨再做几个类似的练习.

［例1］用平方差公式计算：

（1）103×97

（2）118×122 ［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙.

［生］我发现了，103=100+3，97=100－3，因此103×97=（100+3）（100－3）=10000－9=9991.太简便了！

［生］我观察也发现了第（2）题的“奥妙”.

118=120－2，122=120+2 118×122=（120－2）（120+2）=1202－4=14400－4=14396.

［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.

（三）例题学习

［例2］计算：

（1）a2（a+b）（a－b）+a2b2；

（2）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）.

分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.

解：（1）a2（a+b）（a－b）+a2b2

=a2（a2－b2）+a2b2

=a4－a2b2+a2b2

=a4

（2）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）

=（2x）2－52－（4x2－6x）

=4x2－25－4x2+6x

=6x－25 注意：在（2）小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.

［例3］公式的逆用

（1）（x+y）2－（x－y）2

（2）252－242

分析：逆用平方差公式可以使运算简便.

解：（1）（x+y）2－（x－y）2

=［（x+y）+（x－y）］［（x+y）－（x－y）］

=2x·2y

=4xy

（2）252－242

=（25+24）（25－24）

=49 随堂练习

1.（1）704×696 （2）（x+2y）（x－2y）+（x+1）（x－1）

（3）x（x－1）－（x－）（x+）

（可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠）

解：（1）704×696=（700+4）（700－4）

=490000－16=489984 （2）（x+2y）（x－2y）+（x+1）（x－1）

=（x2－4y2）+（x2－1）

=x2－4y2+x2－1 =2x2－4y2－1 （3）x（x－1）－（x－）（x+）

=（x2－x）－［x2－（）2］

=x2－x－x2+=－x

四.应用拓展

解方程：（2x+1）（2x－1）+3（x+2）（x－2）=（7x+1）（x－1）

（先由学生试着完成）

解：（2x+1）（2x－1）+3（x+2）（x－2）

=（7x+1）（x－1）

（2x）2－1+3（x2－4）=7x2－6x－1 4x2－1+3x2－12=7x2－6x－1 6x=12

x=2 （五）.小结作业

完成同步练习册作业

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