3.4.2 函数模型及其应用公开课参赛课教案

第三十三课时函数模型及其应用(1)

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实际问题

建立数学模型

得出数学结果

解决实际问题

学习要求

1．了解解实际应用题的一般步骤；

2．初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法；

3．渗透建模思想，初步具有建模的能力.

自学评价

1．数学模型就是把 实际问题 用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．

2. 数学建模就是把实际问题加以 抽象概括 建立相应的 数学模型 的过程，是数学地解决问题的关键．

3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 ．

【精典范例】

例1．写出等腰三角形顶角y（单位：度）与底角x的函数关系．

【解】y1802x

0x90

点评:

函数的定义域是函数关系的重要组成部分．实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义．

例2．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C

(万元)、单位成本P（万元）、销售收入R（万元）以及利润听课随笔

L（万元）关于总产量x（台）的函数关系式.

分析：销售利润Lx销售收入Rx成本Cx,其中成本Cx

(固定成本可变成本).

【解】总成本与总产量的关系为

C2000.3x,xN. 单位成本与总产量的关系为

P200x0.3,xN. 销售收入与总产量的关系为

R0.5x,xN. 利润与总产量的关系为

LRC0.2x200,xN

．

例3．大气温度y(C)随着离开地面的高度x(km)增大而降低，到上空11km为止，大约每上升1km，气温降低6C，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为22C）．

求：（1）y与x的函数关系式；

（2）x3.5km以及x12km处的气温．

【解】（1）由题意，

当0x11时，y226x，

∴当x11时，y2261144，

从而当x11时，y44．

综上，所求函数关系为

y226x,x0,11；

44,x(11,)（2）由（1）知，x3.5km处的气温为

y2263.51C，

x12km处的气温为44C．

点评:由于自变量在不同的范围中函数的表191111,或t，

∴1t

得

t达式不同，因此本例第1小题得到的是关于自变量的分段函数；第2小题是已知自变量的值，求函数值的问题．

追踪训练一

1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x件时的成本函数是Cx20010x122x（元），若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到

17800元.

2．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线.（OA为线段，AB为某二次函数图象的一部分，O为原点）. （1）写出服药后y与t之间的函数关系式yf(x)；

（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于49微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间.

4t0t1解：（1）由已知得y14(t5)2,1t5

（2）当0t1时，4t419，得9t1；

当1t5时，14(t5)249，

3听课随笔

33∴19t113，

∴11319329，

因此服药一次治疗疾病有效的时间约为3.5小时.

【选修延伸】

一、函数与图象

高考热点1: （2002年高考上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（

）

A.气温最高时，用电量最多

B.气温最低时，用电量最少

C.当气温大于某一值

时，用电量随气温增高而增加

D.当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加

答案：C 分析：该题考查对图表的识别和理解能力. 【解】经比较可发现，2月份用电量最多，而2月份气温明显不是最高.因此A项错误.同理可判断出B项错误.由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C项正确.

思维点拔：

数学应用题的一般求解程序

（1）审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系；

（2）建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

（3）解模：求解数学模型，得到数学结论；

（4）结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论．

追踪训练二

1.

有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数关系式，并求出它的定义域．

分析：关键是用半径R与腰长

x表示上底，由对称性：CDAB2AE，故只要求出AE．

解：设腰长ADBCx，作DEAB垂足为E，

连结BD，则ADB90，∴RtADE∽RtABD，

AD2AEAB，AEx2∴2R，

CDAB2AE2Rx2

∴R

∴周长

R2x(2Rx2y2R)2，

xR2x4R∵ABCD是圆内接梯形 听课随笔

∴AD0,AE0,CD0，

x0即x20，解得0x2R， R2Rx2R0即函数y的定义域为x0x2R

本节学习疑点：如何根据题意建立恰当的函数模型来解决实际问题.

【师生互动】

学生质疑

教师释疑