2.1.2 函数的表示方法特级教师教学实录

2．1.2

函数的表示方法

学习目标

1.掌握函数的三种表示方法：列表法、解析法、图象法(重点)；2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数(难点)；3.掌握分段函数，并能简单应用(重点)．

预习教材P33－34，完成下面问题：

知识点一

函数的三种表示方法

表示法

解析法

图象法

列表法

【预习评价】

(1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？

(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？

提示

(1)三种表示方法的优、缺点比较：

优点

①简明、全面地概括了变量间的关解析法

系；②可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值；③便于研究函数的性质

列表法

直观、形象地表示出函数的变化情图象法

况，有利于通过图形研究函数的某些性质

(2)不一定．

并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大

不必通过计算就可以知道自变量取某个值时，相应的函数值

一般只能表示部分自变量的函数值

不够形象、直观

缺点

定义

用等式表示两个变量之间的函数关系

用图象表示两个变量之间的函数关系

用列表表示两个变量之间的函数关系

0，x∈Q，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无1，x∈∁RQ.数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．

知识点二

分段函数

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的解析表达式，这样的函数通常叫做分段函数．

【预习评价】

某市规定出租车收费标准：起步价(不超过2 km)为5元．超过2 km时，前2 km依然按5元收费，超过2 km部分，每千米收1.5元．按此规定乘坐出租车行驶任意一段路程，是否都有一个唯一的收费额与之对应？收费额y

元是行驶里程x

km的函数吗？当x∈[0,2]时的计费方法与x∈(2，＋∞)时计费方法一样吗？

提示

因为任一行驶里程x都对应唯一的收费额y，故y是x的函数；但由于起步价的规定，x∈[0,2]时，y＝5，x∈(2，＋∞)时，y＝5＋(x－2)×1.5.计费方法不一样．

题型一

列表法表示函数

【例1】

已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

x f(x)

x g(x)

1

3

2

2

3 1 1

1

2

3

3 1

则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．

解析

∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1. f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示. x f(g(x))

g(f(x))

∴f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2. 答案

1

2 1

1

3

2

3

1

3 1 3

规律方法

解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数．对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层解决，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决．

【训练1】

下列表格中的x与y能构成函数的是________(填正确的序号)．

①

x y

②

x y

③

x y

④

x y

解析

①②中数0都有2个数值和它对应，④中任一个自然数都有3个数值与之对应．③正确．

答案

③

题型二

待定系数法求函数解析式

【例2】

(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，求f(x)；

(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．

解

(1)∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 自然数

1

整数

0

有理数

－1 有理数

1

无理数

－1 奇数

1

0

0

偶数

－1 非负数

1

非正数

－1

又∵f(f(x))＝4x－1，∴a2x＋ab＋b＝4x－1，

a＝2，2a＝4，即解得1ab＋b＝－1，b＝－3

a＝－2，或

b＝1.

1∴f(x)＝2x－3或f(x)＝－2x＋1. (2)∵f(x)是二次函数，

∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

由f(0)＝1，得c＝1，

由f(x＋1)－f(x)＝2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x. 左边展开整理得2ax＋a＋b＝2x，

2a＝2，a＝1，由恒等式原理知解得

a＋b＝0，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1. 规律方法

(1)对于特征已明确的函数一般用待定系数法求解析式．(2)若所求函k数为一次函数，通常设f(x)＝kx＋b(k≠0)；若为反比例函数，通常设为f(x)＝x(k≠0)；若为二次函数，则解析式有以下三种：①一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横22b24ac－bb4ac－b坐标；③顶点式y＝a(x＋2a)＋4a(a≠0)，其中顶点坐标为(－2a，4a)．解

题时需依据条件灵活选用．

【训练2】

已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次函数的解析式．

解

设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得c＝1，a＋b＋c＝2，4a＋2b＋c＝5，a＝1，解得b＝0，c＝1，

故f(x)＝x2＋1.

题型三

换元法(或配凑法)求函数解析式

【例3】

求下列函数的解析式：

1＋x1＋x1＝2＋，求f(x)；

(1)已知fxxx(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)．

1＋x1解

(1)方法一

(换元法)令t＝x＝x＋1，

11＋x1＋x1＝2＋，得

则t≠1.把x＝代入fxxt－1x11＋t－121f(t)＝＋1

12t－1t－1＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. ∴所求函数的解析式为

f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．

21＋x1＋x＋2x－2x1＝方法二

(配凑法)∵f＋

x2xx221＋x21＋x－x1＋x21＋x－＝x＝x－x＋1，

x1＋x1∴f(x)＝x2－x＋1.又∵x＝x＋1≠1，

∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．

(2)方法一

(换元法)令x＋1＝t(t≥1)，

则x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2∴f(x)＝x2－1(x≥1)．

方法二

(配凑法)∵x＋2x＝(x＋1)2－1，

∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1. 又∵x＋1≥1，

∴f(x)＝x2－1(x≥1)．

规律方法

(1)换元法的应用：当不知函数类型求函数解析式时，一般可采用换t－2＝t2－1.

元法．所谓换元法，即将“x＋1”换成另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，再代入原式中求出关于“t”的函数关系式，即为所求函数解析式，但要注意换元前后自变量取值范围的变化情况．

(2)配凑法的应用：对于配凑法，通过观察与分析，将右端的式子“x＋2x”变成含有“x＋1”的表达式．这种解法对变形能力、观察能力有较高的要求．

【训练3】

已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)＝________. 解析

方法一

(换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，可得f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3. 方法二

(配凑法)因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，

所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，

即f(x)＝x2－4x＋3. 答案

x2－4x＋3

互动

探究

题型四

分段函数

2x，x≥0，【例4】

(1)若f(x)＝则f(f(－2))＝________. －x，x<0，3x＋1，x≤1，(2)已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________. －x，x>1，解析

(1)因为－2<0，所以f(－2)＝－(－2)＝2，

所以f(f(－2))＝f(2)＝22＝4. 1(2)依题意得当x≤1时，3x＋1＝2，所以x＝3，当x>1时，－x＝2，x＝－2(舍去)，1故x＝3. 1答案

(1)4

(2)3

＋1，x≤－2，x2已知函数f(x)＝x＋2x，－2＜x＜2，2x－1，x≥2.

【迁移1】

5(1)求f(－5)，f(－3)，f[f(－2)]的值；

(2)若f(a)＝3，求实数a的值．

解

(1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，

5－2∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，

f(－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－23. 535∵f－2＝－2＋1＝－2，

3而－2<－2<2，

5333∴f[f(－2)]＝f－2＝－22＋2×－2

93＝4－3＝－4. (2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2＞－2，不合题意，舍去；

当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0，

∴(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3，

∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意；

当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．

综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2. 2x，－1≤x≤1，【迁移2】

已知f(x)＝

1，x＞1或x＜－1.

(1)画出f(x)的图象；

1(2)若f(x)≥4，求x的取值范围；

(3)求f(x)的值域．

解

(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．

1111(2)由于f(±)＝，结合此函数图象可知，使f(x)≥的x的取值范围是(－∞，－2442]1∪[2，＋∞)．

(3)由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x＞1或x＜－1时，f(x)

＝1. 所以f(x)的值域为[0,1]．

【迁移3】

如图所示，已知底角45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．

解

过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 2 cm，

所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，

又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm. 1(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝2x2；

x＋x－2(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝×2＝2x－2；

2(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，

y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF

11＝2(7＋3)×2－2(7－x)2

1＝－2(x－7)2＋10. 综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为

y＝2x－2，x∈2，5]，1－2x－7＋10，x∈5，7].2122x，x∈[0，2]，

图象如图所示．

规律方法

当目标函数在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．

课堂达标

1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________. x f(x)

1

3

2

2

3

4

4 1 解析

由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1. 答案

1 2．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)的解析式为________．

解析

设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，

所以a＝2，b＝7，所以f(x)＝2x＋7. 答案

f(x)＝2x＋7 3．已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项中，能表示f(x)的图象的只可能是________．

解析

根据函数的定义，观察图象，对于①，②，值域为{y|0≤y≤2}，不符合题意，而③中当0≤x＜2时，一个自变量x对应两个不同的y，不是函数．故填④. 答案

④

1x4．如果f(x)＝，则当x≠0,1时，f(x)＝________. 1－x11解析

方法一

令x＝t，则x＝t，

1x代入f(x)＝，

1－x1t11，即f(x)＝. t－1x－1则有f(t)＝1－t1＝

1x1方法二

∵x≠0,1，∴f(x)＝＝1，

1－xx－1故f(x)＝答案

1. x－11

x－15．已知f(x)为二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的表达式．

解

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝c＝0，

∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1) ＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，

f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1. 又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，

2a＋b＝b＋1，∴a＋b＝1，

1a＝2，∴1b＝2.

11∴f(x)＝2x2＋2x. 课堂小结

1．函数三种表示法的优缺点

2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．

3．求函数解析式常用的方法有(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等.