2.2.1 函数的单调性公开课教学设计模版

函数的单调性（一）

韶关田家炳中学

何振华

一、教材分析

本课时主要学习函数的单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性。本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质。函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最值等性质中有重要应用。函数单调性的研究方法也具有典型意义，对加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般的研究方法有很大帮助。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力

二、学情分析

本节课的教学以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程。按现行教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、正、反比例函数，学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大（减小）”的变化趋势，并未接触“单调性”一词，对单调性的理解缺乏数学严谨性，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势。

三、教学目标

1、知识与技能目标

（1）用图象直观地认识函数的单调性，能用自已的语言表述概念；

（2）使学生初步理解函数单调性的概念。

2、过程与方法目标

（1）通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的思想教育。

（2）探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确。

3、情感态度与价值观目标：学生通过一系列丰富的数学活动，培养观察能力，归纳总结能力，加深对数形结合思想的理解。

四、教学重点：函数单调性概念的初步理解和判断。

五、教学难点：函数单调性概念的初步理解。

六、教学过程：

（一）知识导向

画出下列函数的图象，观察其变化规律，它们有怎样的升降规律? 1、f(x)x

（1）从左至右图象上升还是下降 ______________? （2）在区间 ________________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ____________ 2、f(x)x

（1）从左至右图象上升还是下降 ______________? （2）

在区间 ________________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ____________ 3、f(x)x2

（1）在区间 ________________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ___________________ （2）在区间 ________________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ___________________ 函数f(x)x2在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的．

得出结论：不同的函数,其图象的变化趋势可能也不同,同一函数在不同区间上的变化趋势也不一定相同.函数图象的“上升”和“下降”这种变化规律反映了函数的一个重要性质————函数的单调性

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（二）新课教学

1：增函数的概念

864fx = x2-15-10-551015-2-4-6-8

图形语言：f(x)x在（，）上的图象是上升的

符号语言：在（，）上改变x的值，都有x1x2f(x1)f(x2) （重点分析）

文字语言：函数值随着自变量的增大而增大

10864fx = x22-15-10-551015-2-4-6

图形语言：f(x)x在（0，）上的图象是上升的

（问哪个部分图象是上升的）

符号语言：在（0，）上改变x的值，都有x1x2f(x1)f(x2) （重点分析）

文字语言：函数值随着自变量的增大而增大

增函数的概念：课本第28页 （区间内，任意性，有大小）

练习：判断下列说法是否正确：

（1）定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1),则f(x)是R上的单调增函数。（ ）

（2）函数f(x)在R上是增函数，则有f(2)f(1)。（ ）

（3）如果f(x)在区间D上是单调增函数，则函数f(x)是增函数（ ） （4）若函数f(x)在,0和0,上均为增函数，则函数在,上为增函数（ ）（5）定义在R上的函数f(x)在区间,0上是增函数，在区间0,上也是增函数，则f(x)在R上是单调增函数.（ ）

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分析：

（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域内不同的区间上可以有不同的单调性。

“给定区间”可以是函数的定义域，也可以是定义域的真子集

（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)．注意“任意”两字绝不能丢掉，判断单调性时更不可随意以两个特殊值替换

2：减函数的概念

（类比）

减函数的概念：课本第28页 （区间内，任意性，有大小）

如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有

（严格的）单调性 ，区间D叫做yf(x)的 单调区间 ．

单调增区间与单调减区间统称为单调区间．

小结：

（1）单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

（2）有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．

（三）典型例题

例1．函数yf(x)图象如下图所示，函数的单调递减区间是____________________

小结：

（1）单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示．

（2）书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。

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例2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(

)

1 A．y＝3－x B．y＝x C．y＝－x2＋4 D． y＝|x| 例3．函数f(x)的定义域为a,b，且对定义域内任意实数x1,x2均有

(x1x2)(f(x1)f(x2))0，则f(x)在a,b上是 (

)

A．增函数 B．减函数 C．不增不减函数 D．既增又减函数

变式．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是(

) fx1－fx2x2－x1A.>0 B．(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)0 x1－x2fx2－fx1小结．判断函数单调性的方法．

方法一：画图观察；

方法二：利用定义证明，

方法三：根据实际意义确定．

例4．已知函数yf(x)是R上的增函数，若f(2a1)f(2a)，则实数a的取值范围是____________________．

例5．判断题

（1）函数f(x)x在0,上是增函数 ( )

（2）函数f(x)x在0,上是增函数（ ）

1x1x小结． 七、课外作业 必做题：P39 第1题 选做题：我们已知反比例函数y1（，0）的图象，它在区间和0,都是减函数，能否说x它在定义域上是减函数？为什么？

八、板书设计

函数的单调性

一、引入 二、新课

1、概念（投影） 2、例题分析

4 投影