习题1.2板书设计

《函数的单调性》教学设计

教学目标：

①知识目标：能用图像语言、自然语言、符号语言分别从形与数两方面理解函数单调性，会根据函数单调性证明判断函数单调性，能自觉的运用函数的单调性研究函数问题。

②素养目标：创设问题情境，引导学生观察日常生活中的数量间的变化规律进而研究数学中函数的单调性，经历直观想象、数学抽象，主动建构函数的单调性，培育学生用数学的眼光观察世界的核心素养。通过对函数单调性定义的探究，引导学生从特殊到一般，借助列表、描点、作图等方法，从“形”上的几何直观到“数”上的理性刻画，发展学生观察归纳、抽象概括、推理论证的能力，用数学符号语言表达函数单调性的语言表达能力，培养逻辑推理、数学运算等核心素养。

③育人目标：挖掘数学内部资源、以问题驱动，激发学习兴趣，引发学生内化思考，帮助学生养成会思考、会做事的习惯，构建深度学习，实现数学育人。

教学重点：函数单调性的概念及其应用；

教学难点：引导学生主动建构函数单调性的定义并根据定义判断函数的单调性，以及在此过程中对学科核心素养的培育。

教学过程：

一、提出问题，引入课题

引言：前面我们学习了函数的概念，知道函数是描述事物运动变化规律的数学模型，如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律，在事物的变化过程中保持不变的特征就是这个事物的性质，从概念出发研究性质是研究数学对象的基本之道。

那么，如何研究函数的性质呢？我们一般遵循从特殊到一般，从直观到抽象的研究策略，同学们，你们之前学过了哪些函数，它们的图像又是怎样的？（学生举例：一次函数、二次函数、反比例函数等）。请以这些函数中最典型、简约的代表作研究对象，并画出图像加以研究。

选取其中三个函数为例：（1）f(x)x （2）f(x)x （3）f(x)x2

问题1：观察以上三个函数图像，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？

生：有的上升、有的下降，有的先降后升。

问题2：从形的角度看，函数图像的走势有的呈上升状、有的呈下降状、有的呈此起彼伏状，你能从函数值的变化规律加以描述吗？

生：f(x)x

随着x的增大函数值在增大，f(x)x

随着x的增大函数值在减小，f(x)x2随着x的增大函数值在(-,0)内减小，在(0,+）增大。

我们把函数的这种，随着x的增大，函数值f(x)逐渐增大，或者随着x的增大，函数值f(x)逐渐减小的性质，称为函数的单调性。这就是我们要研究的函数的第一个性质------函数的单调性

设计意图：创设问题情境，引导学生思考，渗透研究问题的一般策略，为学生积累基本活动经验和基本思想，通过问题1、问题2引发学生自主建构，构建函数变化规律的描述从图像语言到自然语言过渡的深度学习过程，培育直观想象、数学抽象等核心素养。

二、深度学习，建构概念

如果我们定义函数单调性：

如果函数yf(x)在区间D上，f(x)的值随着x的增大而增大，那么就说f(x)在区间D上是递增函数，区间D称为函数yf(x)的递增区间。

如果函数yf(x)在区间D上，f(x)的值随着x的增大而减小，那么就说f(x)在区间D上是递减函数，区间D称为函数yf(x)的递减区间。

问题3：你能根据函数f(x)0.01x2的图像判断出这个函数的单调性吗？

学生遇到的困难是给定的函数图像变化趋势看不清，激发矛盾冲突，引发深度思考：如何代数刻画函数的单调性？

师：数学上研究问题一般遵循由简单到复杂，由特殊到一般的研究方法。

问题4：以f(x)x2为例，如何用数量关系描述f(x)x2在(0,+）上为增函数呢？

生：列表、取值。

表一：

x

0 1 2 3 4

f(x)

0 1 4 9 16 观察表格可知，x逐渐增大时，f(x)也逐渐增大，所以f(x)x2

在(0,+）上为增函数．

师：该同学通过列表取不同函数值的方式展现了函数f(x)x2在(0,+）上随自变量x的增大，函数值f(x)也逐渐增大的变化规律，从而得出f(x)x2在(0,+）上为增函数的结论。归纳猜想是研究数学的重要途径，（面对全体同学）你们有不同意见吗？

生：（齐声回答）没有！

师：怎么说明自变量从1增加到1.5，函数值也在增加？

生：那么再加几列表格。

师：这样加的话，加的完吗？（大家笑了）

问题6：如果能举出无数个正的自变量，都满足函数值随自变量的增大而增大，能否说明f(x)x2在(0,+）上为增函数？

生：思考、讨论发现------不能。

师：那怎么办？

生：需要(0,+）上所有自变量都要满足其函数值随自变量的增大而增大。

问题6：那么在数学上如何表示“所有”的数呢？有没有类似的经历？

联想函数概念中“任意”一次，体会数学家送来的珍贵的两个字：“任意”。

于是，“‘随着’x增大，函数f(x)‘也’增大”就可以用“对于(0,+）

内的任意两个数x1,x2，x1x2时，都有f(x1)f(x2)”来描述。也就是说“如果对于(0,+）内的任意两个数x1,x2，x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)x2在(0,+）上为增函数”. 问题7：结合以上学习，你能给函数yf(x)的单调性下定义吗？

师生共同参与，完善可能的错误，帮助学生主动建构函数单调性定义。

一般地，设函数定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在D上是增函数。

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在D上是减函数。

设计意图：通过问题3引发学生思考只通过函数图像反映函数单调性是不够的，激发学生深入思考，实现刻画函数单调性图像语言、自然语言到符号语言的自然过渡。通过问题4至6层层深入，引发新的思考，列表是能从代数上刻画函数值的变化规律，但是无法穷举，怎么办？构建新的深度学习----如何将函数值动态变化转化为两个函数值之间的静态比较，深刻理解定义中的“任意”、“恒成立”.通过问题7要求学生从具体函数的单调性过渡到给一般的函数yf(x)的单调性下定义，发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养，培育用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界的素养。

三、深化理解，学以致用

问题8：你能根据定义判断函数f(x)0.01x2的单调性吗？

生：任取x1x2，则

f(x1)f(x2)0.01(x1x2)

x1x2

x1x20f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)

根据单调性定义，函数f(x)0.01x2在R上单调递增. 总结：判断函数单调性的一般步骤：取值、作差、变形、定号、结论

变式训练：

判断函数f(x)x22在(1,)上的单调性，并给与证明？ x问题9：判断下列说法是否正确，并说明理由？

（1）函数f(x)1在定义域内是减函数。

x（2）若在函数yf(x)定义域内的某一个区间D内任取x1x2，都有

f(x1)f(x2)0恒成立，则函数yf(x)在区间D上是增函数。

x1x2设计意图：通过问题8及其变式掌握如何代数证明函数单调性，既达到单调性应用的目的，也引导学生理解代数刻画函数单调性的深刻性和优越性，帮助学生体会数和形是刻画函数变化规律的两个角度，为学生积累研究函数性质的基本经验和基本思想方法，为后续学习函数的其他性质打下基础。通过问题9进一步理解函数单调性的内涵与外延，深刻理解函数单调性是函数的局部性质，深刻理解x1x2，f(x1)f(x2)0本质上与函数单调递增性的一致性，为以后的导数x1x2刻画函数单调性埋下伏笔。

四、总结提炼，布置作业

问题10：今天我学了什么？有什么收获？

五、布置作业（略）