习题1.2名师教学设计

2014年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为(

) A．圆柱

B．圆锥

C．圆台

D．球 2．已知元素a ∈{0,1,2,3}，且a {0,1,2}，则a的值为(

)

A．0

B．1

C．2

D．3 3．在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为(

)

1324A．

B．

C．

D．

55554．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是(

)

A．2

B．3

C．4

D．5 5．在ΔABC中，若ABAC0，则ΔABC的形状是(

)

A．直角三角形

B．等腰三角形

C．锐角三角形

D．钝角三角形

6．sin120的值为(

)

3A．2

B．－1

C．

D．－2

2227．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的

位置关系是(

)

A．平行

B．相交

C．异面但不垂直

D．

异面且垂直

8．不等式(x＋1)(x－2)≤0的解集为(

)

A．{x|－1≤x≤2}

B． {x|－1

{x|x≥2或x≤－1} D． {x|x>2或x<－1} 9．点P(m,1)不在不等式x+y-2<0表示的平面区域内，则实数m的取值范围是(

) A．m＜1

B．m≤1

C．m≥1

D．m＞1 10．某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是(

)

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．样本数据－2，0，6，3，6的众数是＿＿＿＿.

12．在ΔABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，

1sinA=，则sinB=＿＿＿.

3

1

13．已知a是函数f(x)=2－log2x的零点，则实数a的值为＿＿＿＿.

14．已知函数y=sinx(>0)在一个周期内的图像如图所示，则的值为＿＿.

15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A－EF－C(如图2)，则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为＿＿＿＿＿＿.

三、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分6分) x,x[0,2],已知函数f(x)

4,x(2,4].x(1)画出函数f(x)的大致图像；

(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间。

17．(本小题满分8分) 某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动。

(1)求从该班男、女同学中各抽取的人数； (2)从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率。

18．(本小题满分8分) 已知等比数列{an}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列。

(1)求a1及an；

(2)设bn=an+n，求数列{bn}的前5项和S5.

2

19．（本小题满分8分）

已知向量a=(1,sin)，b=(2,1)。

(1)当=时，求向量2a+b的坐标；(2)若a∥b，且∈(0,)，求sin(+)的值。

624

20．(本小题满分10分) 已知圆C：x2+y2+2x -3=0。

(1)求圆的圆心C的坐标和半径长；

(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，11求证：为定值；

x1x2(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使ΔCDE的面积最大。

3

2014年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案

一、选择题

CDBBA

CDACA 二

、填空题

11．6；12．2；13．4；14．2；15．45(或) 34三

、16．解：(1)函数f(x)的大致图象如图所示；

…2分

(2)由函数f(x)的图象得出，

f(x)的最大值为2

…4分

其单调递减区间为[2,4] …6分

17．解：(1)3053(人)，2052(人)，

5050所以从男同学中抽取3人，女同学中抽取2人；

…4分

(2)设3名男同学分别为A,B,C，2名女同学分别1,2. 则所有基本事件有

(A,B)，(A,C)，(A,1)，(A,2)，(B,C)，(B,1)，(B,2)，(C,1)，(C,2)，(1,2) 共10个，其中恰有1名男同学的事件有6个，

其概率为P=0.6

…8分

18．解：(1)依题

2(a3+1)=a2＋a4，所以2(4a1+1)=2a1＋8a1，

解得a1=1，

…2分

故an=a1qn-1=2n-1；

…4分

(2)因为bn＝2n-11255(15)+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5==46

…8分

1221，所以a＝(1,)，所以向量2a＋b=(2,1)+(2,1)=(4,2)

…4分

621(2)因为a∥b，所以2sin=1，解得sin，

…5分

23又因为∈(0,)，所以cos，

…6分

2226所以sin(.

…8分

)sincoscossin44442220．解：(1)配方得(x+1)+y=4，则圆心C的坐标为(-1，0)，

半径长为2；

…2分 (2)设直线l的方程为y=kx，联立x2+y2+2x-3=0消去y得(1+k2)x2+2x-3=0，…4分

x1x222311则x1x2.…6分

所以,xx为定值. …6分

12221k1kx1x2x1x23|b1|(3)解：设m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离为d，

…7分

219．解：(1)因为所以|DE|2Rd24d，SCDE2221(4d2)d22|DE|d4dd≤2，

22当且仅当d4d2，即d2时，ΔCDE的面积最大。

…9分

从而|b1|22，解得b=3或b=-1，故所求方程为x-y+3=0或x-y-1=0

…10分

1S|CD||CE|sinDCE2sinDCE≤2，解二：由(1)知|CD|=|CE|=R=2，所以CDE

2当且仅当CD⊥CE时，ΔCDE的面积最大，此时|DE|22 (第一步相同) 由|DE|2R2d224d222，解得d2，

…9分

4

2014年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为(

) C A．圆柱

B．圆锥

C．圆台

D．球 2．已知元素a ∈{0,1,2,3}，且a {0,1,2}，则a的值为(

) D A．0

B．1

C．2

D．3 3．在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为(

) B 1324A．

B．

C．

D．

55554．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是(

) B A．2

B．3

C．4

D．5 5．在ΔABC中，若ABAC0，则ΔABC的形状是(

) A A．直角三角形

B．等腰三角形

C．锐角三角形

D．钝角三角形

6．sin120的值为(

) C 3A．2

B．－1

C．

D．－2

2227．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的

位置关系是(

) D A．平行

B．相交

C．异面但不垂直

D．

异面且垂直

8．不等式(x＋1)(x－2)≤0的解集为(

) A A．{x|－1≤x≤2}

B． {x|－1

{x|x≥2或x≤－1} D． {x|x>2或x<－1} 9．点P(m,1)不在不等式x+y-2<0表示的平面区域内，则实数m的取值范围是(

)C A．m＜1

B．m≤1

C．m≥1

D．m＞1 10．某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是(

) A

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．样本数据－2，0，6，3，6的众数是＿＿＿＿.

6 12．在ΔABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，

1sinA=，则sinB=＿＿＿.2

33

5

13．已知a是函数f(x)=2－log2x的零点，则实数a的值为＿＿＿＿. 4 14．已知函数y=sinx(>0)在一个周期内的图像如图所示，则的值为＿＿. 2 15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A－EF－C(如图2)，则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为＿＿＿＿＿＿. 45(或) 4

三、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分6分) x,x[0,2],已知函数f(x)

4,x(2,4].x(1)画出函数f(x)的大致图像；

(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间。

16．解：(1)函数f(x)的大致图象如图所示；

…2分

(2)由函数f(x)的图象得出，

f(x)的最大值为2

…4分

其单调递减区间为[2,4] …6分

17．(本小题满分8分) 某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动。

(1)求从该班男、女同学中各抽取的人数； (2)从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率。

17．解：(1)3053(人)，2052(人)，

5050所以从男同学中抽取3人，女同学中抽取2人；

…4分

(2)设3名男同学分别为A,B,C，2名女同学分别1,2. 则所有基本事件有

(A,B)，(A,C)，(A,1)，(A,2)，(B,C)，(B,1)，(B,2)，(C,1)，(C,2)，(1,2) 共10个，其中恰有1名男同学的事件有6个，

其概率为P=0.6

…8分

6

18．(本小题满分8分) 已知等比数列{an}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列。

(1)求a1及an；

(2)设bn=an+n，求数列{bn}的前5项和S5. 18．解：(1)依题

2(a3+1)=a2＋a4，所以2(4a1+1)=2a1＋8a1，

解得a1=1，

…2分

故an=a1qn-1=2n-1；

…4分

(2)因为bn＝2n-11255(15)+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5==46

…8分

122

19．（本小题满分8分）

已知向量a=(1,sin)，b=(2,1)。

(1)当=时，求向量2a+b的坐标；(2)若a∥b，且∈(0,)，求sin(+)的值。

624119．解：(1)因为，所以a＝(1,)，所以向量2a＋b=(2,1)+(2,1)=(4,2)

…4分

621(2)因为a∥b，所以2sin=1，解得sin，…5分

23又因为∈(0,)，所以cos，

…6分

2226所以sin(

…8分

)sincoscossin4444

20．(本小题满分10分) 已知圆C：x2+y2+2x -3=0。

(1)求圆的圆心C的坐标和半径长；

(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，11求证：为定值；

x1x2(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使ΔCDE的面积最大。

20．解：(1)配方得(x+1)2+y2=4，则圆心C的坐标为(-1，0)，

半径长为2；

…2分 (2)设直线l的方程为y=kx，联立x2+y2+2x-3=0消去y得(1+k2)x2+2x-3=0，…4分

x1x222311则x1x2.…6分

所以,xx为定值. …6分

121k21k2x1x2x1x23|b1|(3)解：设m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离为d，

…7分

222所以|DE|2R2d224d2，SCDE1|DE|d4d2d≤(4d)d2，

22当且仅当d4d2，即d2时，ΔCDE的面积最大。

…9分

从而|b1|22，解得b=3或b=-1，故所求方程为x-y+3=0或x-y-1=0

…10分

7

1S|CD||CE|sinDCE2sinDCE≤2，解二：由(1)知|CD|=|CE|=R=2，所以CDE

2当且仅当CD⊥CE时，ΔCDE的面积最大，此时|DE|22 (第一步相同) 由|DE|2R2d224d222，解得d2，

…9分

从而

|b1|22，解得b=3或b=-1，故所求方程为x-y+3=0或x-y-1=0

…10分

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