小结教案设计

第一章

集合与函数概念章末复习提升

1．集合的“三性”

正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性．在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时应格外注意．

2．集合与集合之间的关系

集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A⊆B时，不要遗漏A＝∅. 3．集合与集合之间的运算

并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 4．函数的单调性

函数的单调性是在定义域内讨论的，若要证明f(x)在区间[a，b]上是增函数或减函数，必须证明对[a，b]上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)成立；若要证明f(x)在区间[a，b]上不是单调函数，只要举出反例，即只要找到两个特殊的x1，x2，不满足定义即可．单调函数具有下面性质：设函数f(x)定义在区间I上，且x1，x2∈I，则

(1)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则x1＝x2⇔f(x1)＝f(x2)．

(2)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则方程f(x)＝0在区间I上至多有一个实数根．

(3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同，则在此区间内，函数f(x)＋g(x)亦与它们的单调性相同．

函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法．

5．函数的奇偶性

判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．

题型一

集合的运算

集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏．

例1 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．

(1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围．

(2)是否存在a，使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？

解

(1)A＝{x|0≤x≤2}，

∴∁RA＝{x|x<0，或x>2}．

∵(∁RA)∪B＝R. ∴a≤0，a＋3≥2，

∴－1≤a≤0.

(2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，

－1≤a≤0，而a＋3∈[2,3]，

∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．即这样的a不存在．

跟踪演练1 (1)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁UA)∩B＝________. (2)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B等于(

) A．(－∞，2] B．[1,2] C．[－2,2] D．[－2,1] 答案

(1){6,8} (2)D 解析

(1)∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴∁UA＝{6,8}．

∴(∁UA)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．

(2)A＝{x∈R||x|≤2}＝{x∈R|－2≤x≤2}，

∴A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}

＝{x∈R|－2≤x≤1}．

题型二

函数的概念与性质

研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合．

mx2＋25例2

已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝. 3x＋n3(1)求实数m和n的值；

(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．

解

(1)∵f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

mx2＋2mx2＋2mx2＋2∴＝－＝. －3x＋n3x＋n－3x－n比较得n＝－n，n＝0. 54m＋25又f(2)＝，∴＝，解得m＝2. 363因此，实数m和n的值分别是2和0. 2x＋22x2(2)由(1)知f(x)＝＝＋. 3x33x任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，

12则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1－

3x1x22x1x2－1＝(x1－x2)·. 3x1x2∵－2≤x1＜x2≤－1时，

∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0，

∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，

45因此f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－. 33跟踪演练2 (1)函数y＝的定义域为(

) 1－1－x22A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0,1]

C．(－∞，0)∪(0,1) D．[1，＋∞)

(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.

答案

(1)B (2)－xx＋2

1－x≥0，解析

(1)要使函数有意义，则1－1－x≠0，

即x≤1且x≠0.

(2)设－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，

所以f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．

又因为f(x＋1)＝2f(x)，

所以f(x)＝fx＋2＝－xx＋2. 题型三

函数图象及其应用

函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点．

例3 对于函数f(x)＝x－2|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；

(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．

解

(1)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)－2|－x|＝x－2|x|. 则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

图象关于y轴对称．

x－2x＝(2)f(x)＝x－2|x|＝2x＋2x＝22222x－x＋22－－xx＜，

画出图象如图所示，

根据图象知，函数f(x)的最小值是－1. 单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；减区间是(－∞，－1]，[0,1]．

312跟踪演练3 对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x－4x＋3中的较大者，则f(x)的22最小值是________．

答案

2 312解析

首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，x＋，x－4x＋3中的较大者”是指对某个22312区间而言，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x－4x＋3中最大的一个．

22

如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．

从图象观察可得函数f(x)的表达式：

－x＋f(x)＝312x＋2 x－4x＋2x2－4x＋3 xxxx，，，

f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2. 题型四

分类讨论思想

分类讨论思想的实质是：把整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏．本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合运算中对∅的讨论，二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数的取值范围问题等．

例4 设函数f(x)＝x－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．

解

f(x)＝x－2x＋2＝(x－1)＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1. 222

当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t＋1；

当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f(1)＝1；

当t>1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t－2t＋2. 22t＋1，t＜0，综上所述f(x)min＝1，0≤t≤1，t2－2t＋2，t＞1.2

跟踪演练4 已知A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合2C. 解

∵A∪B＝A，∴B⊆A. (1)当B≠∅时，由x－3x＋2＝0，得x＝1或2.当x＝1时，a＝2；当x＝2时，a＝1. (2)当B＝∅时，即当a＝0时，B＝∅，符合题意．

故实数a组成的集合C＝{0,1,2}．

1. 函数单调性的判定方法

(1)定义法．

(2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f(x)，g(x)的单调性判断－f(x)，12fx，f(x)＋g(x)的单调性等．

(3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性．

2. 二次函数在闭区间上的最值

对于二次函数f(x)＝a(x－h)＋k(a>0)在区间[m，n]上最值问题，有以下结论：

(1)若h∈[m，n]，则ymin＝f(h)＝k，

2ymax＝max{f(m)，f(n)}；

(2)若h∉[m，n]，则ymin＝min{f(m)，f(n)}，

ymax＝max{f(m)，f(n)}(a<0时可仿此讨论)．

3. 函数奇偶性与单调性的差异

函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x值，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇函数(或偶函数)．