习题3.2教学设计(第二课时)

1.2 任意角的三角函数

1.2.1 任意角的三角函数

教学目标：1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的概念，以及三角函数的定义域、值域和函数值在各象限的符号规律.

2.理解诱导公式一的含义与作用，了解单位圆中的三角函数线，明确三角函数的几何意义，会根据三角函数的概念和诱导公式一求某些三角函数值. 3.渗透映射观点和数形结合的数学思想，培养探究意识和逻辑思维能力. 教学重点：任意角的三角函数的概念

教学难点：三角函数值符号和三角函数线

教学课时：二课时

第一课时

教学内容：任意角的三角函数的概念

A. 问题提出

1.角的概念是由几个要素构成的，具体怎样理解？

（1）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形. （2）按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，没有作任何旋转形成的角为零角. （3）角的大小是任意的. 2.什么叫做1弧度的角？度与弧度是怎样换算的？

（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. （2）180°＝rad.

B 3.

与角α终边相同的角的一般表达式是什么？

β=α＋k·360°（k∈Z）或b=a+2kp(k?Z).

α

4.如图，在直角三角形ABC中，sinα，cosα，tanα分别

C 叫做角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？

5.当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα，tanα的值进行推广，以适应任意角的需要.

A B. 知识探究

探究（一）：任意角的三角函数

思考1：为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中，并使角α

的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.在角α的

y P(a，b) α

o x

终边上取一点P（a，b）,设点P与原点的距离为r，那么，

sinα，cosα，tanα的值分别如何表示？

sinbab，cos，tan. rra思考2：对于确定的角α，上述三个比值是否随点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？

思考3：为了使sinα，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选在何处最好？此时，

sinα，cosα分别等于什么？

思考4：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆.对于角α的终边上一点P，要使|OP|=1，点P的位置如何确定？

思考5：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），

y 为了不与当α为锐角时的三角函数值发生矛盾，

α的终边

你认为sinα，cosα，tanα对应的值应分别如何

定义？

P(x，y) siny，cosx，tany(x0). xO x 思考6：对于一个任意给定的角α，按照上述定义，对应的sinα，

cosα，tanα的值是否存在？是否惟一？

思考7：对应关系ysin，xcos，ytan(x0)都是以角为自变x量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，并统称为三角函数，在弧度制中，这三个三角函数的定义域分别是什么？

正、余弦函数的定义域为R，正切函数的定义域是{a喂R|ap+kp,k?Z}. 2y 思考8：若点P（x，y）为角α终边上任意一点，那么

sinα，cosα，tanα对应的函数值分别等于什么？

sinyx2y2,cosxx2y2,tany. xO P(x，y) x

探究（二）：三角函数符号与公式

思考1：当角α在某个象限时，设其终边与单位圆交于点P（x，y），根据三角函数定义，

sinα，cosα，tanα的函数值符号是否确定？为什么？

思考2：设α是一个任意的象限角，那么当α在第一、二、三、四象限时，sin

α的取值符号分别如何？cosα，tanα的取值符号分别如何？

思考3：综上分析，各三角函数在各个象限的取值符号如下表：

三角函数

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

sin

＋

＋

＋

＋

－

－

－

－

＋

－

＋

－

正弦

全部

＋

＋

正切

余弦

＋

＋

，cos

tan

你有什么办法记住这些信息？

思考4：如果角α与β的终边相同，那么sinα与sinβ有什么关系？

cosα与cosβ有什么关系？tanα与tanβ有什么关系？

思考5：上述结论表明，终边相同的角的同一三角函数值相等，如何将

这个性质用一组数学公式表达？

公式一：sin(2k)sin

，cos(2k)costan(2k)tan.(kZ) 思考6：若sinα=sinβ，则角α与β的终边一定相同吗？

思考7：在求任意角的三角函数值时，上述公式有何功能作用？

00 可将求任意角的三角函数值，转化为求0～2p（或0～360）范围内的三角函数值. 思考8：函数的对应形式有一对一和多对一两种，三角函数是哪一种对应形式？

C. 理论迁移

例1 求y 5的正弦、余弦和正切值. 3x

O 13

P(,-)

22

例2 已知角的终边过点P（－3，－4），求角的正弦、余弦和正切值. y

x

O

P（－3，－4）

例3 求证：当且仅当不等式组sin0成立时，角为第三象限角. tan0

例4 确定下列三角函数值的符号. (1)cos250； (2)sin( (4)tan3； (5)cos

4)； (3)tan(672)； 911). ； (6)tan(46D. 小结作业

1.三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值. 2.三角函数的定义是三角函数的理论基础，三角函数的定义域、函数值符号、公式一等，都是在此基础上推导出来的.

3.若已知角α的一个三角函数符号，则角α所在的象限有两种可能；若已知角α的两个三角函数符号，则角α所在的象限就惟一确定. 4.一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，与点P（x，y）在终边上的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现，

作业：P15 练习：1，2，3，5，6，7.

1.2.1任意角的三角函数（二）

教学目标：

1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.

2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.

教学过程：

一、复习引入：

1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

则P与原点的距离r

xyx2y20

22

2.比值y叫做的正弦 记作： sinrx

比值叫做的余弦 记作： cosry

比值叫做的正切 记作： tanxy

rx

ry

xP(x,y)rxx比值叫做的余切 记作： cot

yy比值rr叫做的正割 记作： sec

xx 比值rr叫做的余割 记作： csc yy以上六种函数，统称为三角函数. 二、讲授新课：

1. 三角函数在各象限内的符号规律：

第一象限：.x0,y0

∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0 第二象限：.x0,y0

∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0 第三象限：.x0,y0

∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0 第四象限：.x0,y0

∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0

sincscsin>0cos<0tan<0cot<0sin<0cos<0tan>0cot>0sin>0cos>0tan>0cot>0sin<0cos>0tan<0cot<0y为正 全正

cossectancot为正 为正

2.

终边相同的角的同一三角函数值相等

例如390°和-330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即

sin390°=sin30°

cos390°=cos30°

24000x-5100

sin(-330°)=sin30°

cos(-330°)=cos30°

诱导公式一（其中kZ）: 用弧度制可写成

sin(k360)sin sin(2k)sin

cos(k360)cos cos(2k)cos

tan(k360)tan

tan(2k)tan

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．

三、例题精析

例1

(1)cos250°

（2）sin(4) （3）tan（－672°） (4)tan(11)

3解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0 (2)∵4是第四象限角，∴sin(4)0

(3)tan（－672°）＝tan（48°－2×360°）＝tan48°

而48°是第一象限角，∴tan（－672°）＞0

1155tan(2)tan

3335110.

而是第四象限角，∴tan33(4) tan例2

求证角θ为第三象限角的充分必要条件是证明：必要性：∵θ∴

sin0

tan0sin0

tan0充分性：∵sinθ＜0，

∴θ是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的非正半轴上

∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.

∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.

∴θ为第三象限角.

例3

求下列三角函数的值

(1)sin1480°10′ (2)cos911).

（3）tan(46解:(1)sin1480°10′＝sin（40°10′＋4×360°）

＝Sin40°10′＝0.6451

(2) cos92

cos(2)cos4442113)tan(2)tan.

6663(3)tan(例4

求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tg4950°．

解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°) +cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tg(360°+135°)．

=sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tg135°

=3311-1=0

2222四、课堂练习：

1.确定下列各式的符号

(1)sin100°·cos240°

(2)sin5+tan5 分析:由角所在象限分别判断两个三角函数值的符号,再确定各式的符号. 解(1)∵100°是第二象限的角,240°是第三象限的角. ∴sin100°＞0,cos240°＜0,于是有sin100°·cos240°＜0. (2)∵352,∴5是第四象限的角

2∴sin5＜0,tan5＜0,于是有sin5+tan5＜0. 2．已知是第三象限角且cos20，问是第几象限角？

2解：∵(2k1)(2k1)

∴k又∵cos

∴2

(kZ)

22k3

(kZ)

则是第二或第四象限角

4220

则是第二或第三象限角

2必为第二象限角

2五、小结 本节课讲解了各象限三角函数值的符号，并介绍了第一组诱导公式

，同学要会用诱导公式做题。

六、课后作业：

1.

确定下列三角函数值符号：

（2）sin3900

,tan2250