习题3.2教学实录与评析

学案9

幂函数

11导学目标：

1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，x2了解它们的变化情况．

自主梳理

1．幂函数的概念

形如______的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数．

2．幂函数的性质

(1)五种常见幂函数的性质，列表如下：

定义域

值域

奇偶性

单调性

过定点

R

R

y＝x 奇

↗

[0，＋∞)↗

y＝x2

R

[0，＋∞)

偶

(－∞，0]↙

R

R

y＝x3

奇

↗

(1,1) 1非奇

[0，＋∞)

[0，＋∞)

[0，＋∞)↗

y＝x2

非偶

(－∞，0) (－∞，0) (－∞，0)↙

－y＝x1

奇

∪(0，＋∞) ∪(0，＋∞) (0，＋∞)↙

(2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象．

(3)α>0时，幂函数的图象通过点________________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象________原点．

自我检测

11．如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于2曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为

(

)

11A．－2，－，，2 2211B．2，，－，－2 2211C．－，－2,2，

2211D．2，，－2，－

222．已知函数：①y＝2；②y＝log2x；③y＝x；④y＝x.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是

(

)

A．②①③④

B．②③①④

C．④①③②

D．④③①②

13．设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为

2

(

) A．1,3

B．－1,1

C．－1,3

D．－1,1,3 x4．与函数y＝的图象形状一样的是

(

) x＋1

39 x－1

12

A．y＝2x

5．已知点(3

B．y＝log2x

1C．y＝

x

D．y＝x＋1

123，33)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式是

3B．f(x)＝x

C．f(x)＝x

－3

(

) A．f(x)＝x

12

D．f(x)＝x

探究点一

幂函数的定义与图象

1例1

已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，)．

4(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)求当x为何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)

1变式迁移1

若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，4fx，fx≤gx，定义h(x)＝试求函数h(x)的最大值以及单调区间．

gx，fx>gx，

探究点二

幂函数的单调性

例2

比较下列各题中值的大小．

(1)30.8，30.7；(2)0.213，0.233；

(3)2，1.8；(4)4.1，3.8和(1.9).

变式迁移2

(1)比较下列各组值的大小：

12132523351①8________()3；

②0.20.5________0.40.3. 9131(2)已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，则m的取值范围是__________________________．

探究点三

幂函数的综合应用

例3

已知函数f(x)＝x数，求满足(a1)

m3m22m3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函<(32a)m3的a的范围．

40

变式迁移3

已知幂函数f(x)＝x(mm)(m∈N*) (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．

1．幂函数y＝x(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．

2．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

α21(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

mn

1．右图是函数y＝x

(m，n∈N*，m、n互质)的图象，则

(

)

mA．m，n是奇数，且<1 nmB．m是偶数，n是奇数，且>1 nmC．m是偶数，n是奇数，且<1 nmD．m是奇数，n是偶数，且>1 n2．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是

(

) A．幂函数

B．对数函数

C．指数函数

D．余弦函数

3．下列函数图象中，正确的是

(

)

3224．设a＝()5，b＝()5，c＝()5，则a，b，c的大小关系是

555A．a>c>b

C．c>a>b

232(

)

B．a>b>c

D．b>c>a

41

5．下列命题中正确的是

(

) ①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；

③当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn当n>0时是增函数；

⑤幂函数y＝xn当n<0时在第一象限内函数值随x值的增大而减小．

A．①和④

B．④和⑤

C．②和③

D．②和⑤

二、填空题(每小题4分，共12分) 6．若幂函数y＝(m23m3)xαa21am2m2的图象不经过原点，则实数m的值为________．

7．已知a＝x，b＝x，c＝x，x∈(0,1)，α∈(0,1)，则a，b，c的大小顺序是________．

α8．已知函数f(x)＝x(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若00时，若f(x1)>f(x2)，则x1>x2；④若0

三、解答题(共38分) 9．(12分)设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x<1时，y＝f(x)11的表达式是幂函数，且经过点(，)．求函数在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表达式．

28

110．(12分)已知f(x)＝xxf(x2－x)>f(x＋3)．

n22n3(n＝2k，k∈Z)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式11．(14分)已知函数f(x)＝x(k∈Z)满足f(2)

(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；

(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在17区间[－1,2]上的值域为[－4，]？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．

8

42 k2k2