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数学复习：抽象函数

高考常考抽象函数模型：

1.正比例函数型：f(x)kx(k0)f(xy)f(x)f(y)

2.一次函数型：fxkxbfxyfxfyb

23.幂函数型：f(x)x

f(xy)f(x)f(y)，f()xyf(x)

f(y)f(x)

f(y)x4.指数函数型：f(x)a

f(xy)f(x)f(y)，f(xy)5.对数函数型：f(x)logax

f(xy)f(x)f(y)，f()f(x)f(y)

6.三角函数型：f(x)tanx

f(xy)1、直线型抽象函数

例1.已知函数f(x)对任意实数x,y，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0，xyf(x)f(y)

1f(x)f(y)f(1)2，求f(x)在2,1的值域

2、指数函数型抽象函数

例2.定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有f(mn)f(m)f(n)，且当x>0时，0

(1) 试求f(0)的值

(2) 判断f(x)的单调性并证明

1

3、对数函数模型

b例3.定义在R+上的函数f(x)满足：①f(10)=1;②对任意实数b，f(x)=bf(x)，当x1时，fx0

(1) 求f(1),f(),f() (2) 求证：对任意正实数x,y,f(xy)=f(x)+f(y)

(3) 求证：f(x)是R+上的增函数

4、幂函数模型

例4.已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)f(x)f(y)且f(1)1,f(27)9.当0x1时，12140f(x)1

(1)

判断f(x)的奇偶性

(2)

判断f(x)在0,上的单调性，并证明

(3)

若a0，且f(a1)39，求a的取值范围

5、正切函数模型

例5.若对常数m和任意实数x，都有等式f(xm)

1f(x)成立，求证:f(x)是周期函数

1f(x)14,2.2f01,n0lgxyf10mnm1111.3f10.flg,f2lg.fxyf10lgxy2422fmnfnlgxf10lgyxyx右4y1fxfx,0x.fxx3.0a2fxyfx211f(xm)15f(x2m)f(xm)m1f(xm)1111

f(x)1f(x)T4m

f(x)f(x)f(x)2

练习：

1.若xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，若x0时，fx0，

比较大小f2,f0,f1

2.若xR，f(x)满足fx1x2fx1fx21,，则下列说法正确的是 （ ）

A.fx为奇函数

3.f(x)的定义域为R,fxy对一切实数x,y成立，若f(()fx()fy()8)4，f(2)

4.f(x)定义域为R，对任意x,yR，都有f()f(x)f(y)，x1时，f(x)0，f()1，

（1）求证f(x)为减函数

（2）解不等式f(x)f(5x)2

B.fx为偶函数 C.fx1为奇函数

D.fx1为偶函数

xy12x1,x2[0,]，5.f(x)是定义在R上的偶函数，图像关于x1对称，有f(x1x2)f(x1)f(x2),fx0

(1)设f(1)2，求f() ，f ，f2 ，f(2)求函数yfxm.m1,2在区间0,8上各零点之和

6.若f(x)是定义在0,上的增函数，且f（1）求f1的值

（2）若f61，解不等式fx3fx2

1212742015 3xfxfy y

3

7.函数fx对任意的实数m,n有fmnfmfn，当x0时，有fx0

（1）求证:f00

（2）求证:fx在R上为减函数．

（3）若f32，解不等式fx26fx4

8.f(x)定义在R上不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，则f()= 52

9.已知函数fx满足：f1

1，4fxfyfxyfxy.x,yR，则f2015_____

4f21f2f10.函数f(x)满足：f(ab)f(a)f(b)，f(1)2，则f122f4f3f23f6

f5f2010 f21005f2009

11.函数f(x)对任意的m,nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且当x0时，f(x)1

（1）求证：f(x)在R上是增函数

2（2）若f(3)4，解不等式f(aa5)2

xy12.f(x)在1,1上有定义，满足x,y(1,1)有f(x)f(y)f(),求证：f(x)在1,1上为奇函数

1xy

4

13.函数fx对任意的实数m,n，有fmnfmfn，当x0时，有fx0

（1）求证：f00

（2）求证：fx在R上为增函数．

xx（3）若f11，解不等式f422



14.f(x)是定义在(0,)上的增函数，f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，解不等式f(x)f(x8)2

15.已知定义在,1(1,)上的奇函数，且满足：①f(3)1②对任意的x2，均有f(x)0

③对任意的x,yR，均有f(x1)f(y1)f(xy1)

（1）求f(2)的值

（2）求证：f(x)在(1,)上是单调递增

16.设f(x)是定义在R上的偶函数，且fx31f(x)，则f(7.5)的值为_____

1奇，f2f0f1.2C.31,040，14，55113.80.9f0,f1

2,42,1,32,32.60,,7,16,243511令mx,n0.f33f12f12a3,2.12xy0f00,x0fyfy

x1f2fx111111112x.10y2,f2,f3,f4,f5,f6,f7T6f20154S40204244244fx13mn0f00,x1m,x2x1n,n014f92f32x80x2x1,2xfx2fx1fn022x212x2x1fy108x9.15xy1f20,x0,y1fx1fxy1xx89x1xy116f7.51f1.5f1.512

5