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第二章

基本初等函数(Ⅰ)

本章复习

教学目标

①复习巩固指数、对数的运算性质,进一步熟练地运用指数函数、对数函数及幂函数的性质解决一些问题; ②在学生对教材知识掌握的基础上,引导学生利用所学的知识解决问题,提高学生分析问题与解决问题的能力.

合作学习

一、复习回顾,承上启下

（一）知识网络

（二）要点归纳

1、指数的运算

（1）(na)na； （2）nana，n为奇数a，n为偶数； （4）an1man（a0）； （5）nama（na0）； （7）amanamn； （8）(am)namn(an)m； 10）(an （nab)bn

2、对数的性质及运算性质：

如果a0,且a1,M0,N0，那么

3）a0（1a0）； 6）1namam（na0）；9）（ab）nanbn；

（（

（

（1）logaa1； （2）loga10； （3）alogaNN； （4）logaann；

（5）loga(MN)logaMlogaN（积的对数等于对数的和）；

M （6）loga()logaMlogaN（商的对数等于对数的差）；

N （7）logaMnnlogaM（一个数的n次方的对数等于这个数的对数的n倍）；

（8）换底公式

nlogcblgblnb1 logab； logambnlogab； logab

mlogcalgalnalogba

【题型一】指对数的运算

29例1 化简：(1) (8)3(3102)2105; 32log53(2)2log2－log＋log8－

. 25333

9

430.25跟踪训练1

计算8×2＋(2×3)6＋log32×log2(log327)的值为_____.

3、指数函数、对数函数、幂函数的图象及其性质

（1）.指数函数的性质

函数名称

指数函数

定义

函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数

a>1 图象

0

定义域

值域

过定点

奇偶性

单调性

函数值的

变化情况

a变化对

图象的

影响

图象过定点

,即x=0时,y=1 非奇非偶

在R上是

函数

y>1(x>0),y=1(x=0),0

函数

y>1(x<0),y=1(x=0),00) 在第一象限内,a越大图象越高,越靠近y轴; 在第二象限内,a越小图象越高,越靠近y轴; 在第二象限内,a越大图象越低,越靠近x轴

在第一象限内,a越小图象越低,越靠近x轴

（2）对数函数的性质

函数名称

对数函数

定义

函数y=logax(a>0且a≠1)叫做对数函数

a>1 0

定义域

值域

过定点

奇偶性

单调性

函数值的

变化情况

a变化对

图象的

影响

图象过定点

,即x=1时,y=0

在(0,+∞)上是

函数

logax>0(x>1) logax=0(x=1) logax<0(0

在(0,+∞)上是

函数

logax<0(x>1) logax=0(x=1) logax>0(0

在第四象限内,a越小图象越高,越靠近x轴

（3）反函数

(1)反函数概念

函数y=ax(x∈R)与对数函数y=logax(x∈(0,+∞))互为反函数.即同底的指数函数与对数函数互为反函数.

(2)反函数的性质

互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称.

11.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地,函数

叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.

(2)幂函数的图象

(4)幂函数的性质

①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限; ②过定点:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1);

③单调性:如果α>0,则幂函数的图象过原点,并且在[0,+∞)上为增函数.如果α<0,则幂函数的图象在(0,+∞)上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与y轴;

【题型二】

例2

比较下列各组数的大小：

(1)27，82；

(2)log20.4，log30.4，log40.4 (3)2131log1，log23，

1

. 23

【题型三】指数函数、对数函数、幂函数的图象

熟悉指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是熟练求解指、对、幂问题的关键.

【例3】已知c<0,下列不等式中成立的一个是(

)

A.c>2c

B.c>()c

C.2c<()c

D.2c>()c

【例4】方程2x-x2=2x+1的解的个数为

.

【例5】0.32,log20.3,20.3这三个数之间的大小顺序是(

) A.0.32<20.3

B.0.32

C.log20.3<0.32<20.3

D.log20.3<20.3<0.32

【例6】函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是(

)

3.指数函数、对数函数的性质

【例7】比较下列每组中两个数的大小.

(1)2.10.3

2.10.4;(2)(

)1.3

(

)1.6;(3)2.10.3

(

)-1.3;(4)log51.9

log52;(5)log0.70.2

log0.52;(6)log42

log34.

【例8】求下列函数的定义域.

(1)y=

【例9】求下列函数的值域.

(1)y=1-2x,x∈[1,4];(2)y=3+log2x,x∈[1,+∞).

【例10】解下列不等式.

(1)

<2x-1<4;

(2)log0.7(2x)

-

;(2)y=

-

;(3)y=lo

(3x-2);(4)y=

-

.

4.指数、对数型复合函数的单调性

指数、对数函数的单调性应用十分广泛,可以用来比较数或式的大小,求函数的定义域、值域、最大值、最小值,求字母参数的取值范围等.

对复合函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在(c,d)上是增函数,那么复合函数在(a,b)上为增函数.可推广为下表(简记为同增异减):

u=g(x) y=f(u) 增

增

减

减

增

减

增

减

y=f[g(x)] 增

减

减

增

【例11】如果函数f(x)=(a2-1)x在R上是减函数,求实数a的取值范围.

【例12】求下列函数的单调区间.

(1)f(x)=(

变式:求下列函数的单调区间.

(1)y=

2【例13】求函数y=2lo

x-lo

x+1(≤x≤4)的值域.

-

- ;(2)y=log5(x2-2x-3).

;(2)y=log0.1(2x2-5x-3).

三、作业精选,巩固提高

1.计算下列各式的值.

(1)lo

(3+2

);(2)lg25+lg2×lg50; (3)log6[log4(log381).

2.求下列函数的定义域.

(1)y=

-

;(2)y=

;(3)y=

;(4)y=loga(x-1)2(0

-

-

3.求下列函数的值域: (1)y=(

)x+2,x∈[-1,2]; (2)y=log2(x2-4x-5).

4.求函数y=log2·log2(x∈[1,8])的最大值和最小值.

6.求下列函数的单调区间.

(1)f(x)=

-

; (2)f(x)=log4(2x+3-x2); (3)f(x)=

7.(1)y=lo

-

x是减函数,求实数a的取值范围; (2)若函数f(x)=log0.5(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围; (3)已知函数f(x)=loga(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,求实数a的取值范围;

-

(4)已知f(x)=

是(-∞,+∞)上的减函数,求实数a的取值范围.

8.求不等式loga(2x+7)>loga(4x-1)(a>0,且a≠1)中x的取值范围.

9.已知f(x6)=log2x,求f(8).

10.判断函数f(x)=lg(

-x)的奇偶性.

11.已知函数f(x)=loga (a>0,且

-

-

(0

a≠1).

(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)求不等式f(x)>0的解集.