小结教学设计案例

函数的奇偶性与周期性

知

识

梳

理

1．函数的奇偶性的概念及图像特征

奇函数

偶函数

定义域

x 定义

f(x)与f(-x)的函数f(x)的定义域关于

对称

对于定义域内的

一个x f(-x)=

f(-x)=

关系

图像特征

关于

对称

关于

对称

2.奇(偶)函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性

，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性

(填“相同”、“相反”)．

(2)在公共定义域内

①两个奇函数的和函数是

，两个奇函数的积函数是

．

②两个偶函数的和函数、积函数是

．

③一个奇函数，一个偶函数的积函数是

．

(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝

. 3．周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝

，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中

的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

考点自测：判断下列命题的真假

(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(

) (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(

) (3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(

) 1

(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(

) (5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(

) (6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(

) 典例突破

考点一

函数奇偶性的判断及应用

【例1】判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x3－x；

(2)f(x)＝(x＋1)

x＋x，

(3)f(x)＝2 (4)f(x)＝2－x＋x，x>0.21－x；

1＋xx<0，

练习1：

(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(

) A．f(x)g(x)是偶函数

B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数

D．|f(x)g(x)|是奇函数

(2)函数f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a>0且a≠1)，则函数F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性是(

) A．F(x)是奇函数，G(x)是奇函数

B．F(x)是偶函数，G(x)是奇函数

C．F(x)是偶函数，G(x)是偶函数

D．F(x)是奇函数，G(x)是偶函数

规律方法

(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：

(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的2

范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．

考点二：函数奇偶性的应用

exax是R上的偶函数，求a的值；若为奇函数呢？

【例2】f(x)=ae

练习2：(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________ 【例3】f（x）为偶函数，当2x0时，f(x)=1-x2+x，当0x2时，求f(x)的解析式

练习3：

已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-x-1,求f(x)的解析式

考点三

函数的单调性与奇偶性

【例4】.已知yf(x)是偶函数，yg(x)是奇函数，它们的定义域均为[3，3]，且它们在y x[0, 3]上的图像如图所示，则不等式

f(x)0的解集是_________. g(x)y=g(x) 1 2 3 y=f(x) 0 x 1练习4：（1）：已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，求满足f(2x-1)

1（2）：已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f3＝0，

则不等式f(log1x)＞0的解集为(

)．

8111，2

B．(2，＋∞)

C.0，∪(2，＋∞)

D.，1∪(2，＋∞) A.222考点四

函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用

3

【例5】

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(

)．

A．f(－25)＜f(11)＜f(80)

B ．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25)

D．f(－25)＜f(80)＜f(11) 练习5(1)：f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+2)= - 1,当2≤x≤3时，f（x）=x，则f（105.5）f(x)=

(2)定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；

④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(4)＝f(0)．

其中判断正确的序号是________．

(3)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为(

)．

A．(1,3)

B．(－1,1)

C．(－1,0)∪(1,3)

D．(－1,0)∪(0,1)

1－，(4)已知函数f(x＋1)是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0恒成立，设a＝f2b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(

)．

A．b＜a＜c

B．c＜b＜a

C．b＜c＜a

D．a＜b＜c

(5) 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]11－x时，f(x)＝2，则：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；

1x－3③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝2.其中所有正确命题的序号是________．

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