信息技术应用 借助信息技术方程的近似解课堂实录【2】

课题：第四章

函数应用

§1

函数与方程

1.2

利用二分法求方程的近似解

学习目标

1．掌握用二分法求函数零点近似值的步骤．

2．了解函数零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．

引入课题

在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路

发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？

如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次

电线杆，10km长，大约有200多根电线杆呢．想一想，维修线路

的工人师傅怎样工作最合理？

如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B,

1.首先从中点C查；

2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定

故障在BC段；

3.再到BC段中点D；

4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段；

5.再到CD中点E来看；

6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半.

这种解决问题的方法，就是二分法.常用于：

查找线路电线、水管、气管等管道线路故障、实验设计、资料查询……也是方程求近似根的常用方法.

探究点1二分法求方程的近似解

问题1：

问题2：

简述上述求方程近似解的过程? 探究点2二分法定义及操作步骤

归纳:二分法（bisection

method）:象上面这种求方程近似解的方法称为二分法,它是求一元方程近似解的常用方法.

二分法定义：

对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection). 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：

1. 确定区间[a,b]，验证f(a)· f(b)<0,给定精确度ε；

2.求区间(a,b)的中点x1，

3.计算f(x1)

对二分法定义的理解：

1. 二分法的基本思想：逼近思想；

2.用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．

典例精讲

题型一：对二分法概念的理解

【例1】观察下列函数的图象，能用二分法求其零点的是(

)

【注意要点】

运用二分法求函数零点需具备的两个条件

(1)函数图象在零点附近连续不断.

(2)在该零点左右函数值异号.

题型二：利用二分法求方程的近似解

【例2】求函数f(x)=lnx+2x－6的零点在(2,3)上的近似值(精确度：0.1)

【规律方法】(1)运用二分法解题流程

(2)二分法中对结果要求的“精确度”与“精确到”有何区别？

精确度为0.1，是指二分法停止二分区间时，区间[a，b]的长度|b－a|<0.1，此时a(或b)即为零点近似值，且此时位于区间[a，b]内任意一值均可作为近似值. 而精确到0.1，是指a，b四舍五入精确到0.1的近似值相同，这个相同的近似值即为零点近似值，显然按“精确到”

求出的近似值是唯一的．

题型三：用二分法求解零点所在区间

规律总结：

判断零点存在区间的关键是f(a)·f(b)<0

课堂练习

1．对于二分法求得的近似解，精确度ε说法正确的是(

)

A.ε越大，零点的精确度越高

B.ε越大，零点的精确度越低

C.重复计算次数就是ε

D.重复计算次数与ε无关

3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)为________．

4．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币

（质量轻一点），现在只有一台天平，应用适当的方法最多称几次就可以发现这枚假币？

归纳小结

1. 二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,逐步逼近零点的方法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.

2．二分法的记忆口诀：

函数连续值两端，相乘为负有零点，区间之内有一数，方程成立很显然. 要求方程近似解，先看零点的区间，每次区间分为二，分后两端近零点.

3．二分法求函数零点步骤的记忆口诀

定区间，找中点；中值计算两边看.同号丢，异号算，零点落在异号间. 重复做，何时止，精确度来把关口.