探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系ppt配套教案板书设计

关于互为反函数的两个函数图象公共点的结论及其应用

定理1

(1)若函数yf(x)是增函数，则

方程f(x)f1下同)与f(x)x同(x)(f1(x)表示函数yf(x)的反函数，解；

(2)增函数与其反函数图象的公共点在直线yx上．

证明

(1)WWW.ziyua因为函数yf(x)是增函数，所以方程f(x)f1(x)即方程f(f(x))f(f1(x))也即方程f(f(x))x，由①中n2时的结论知也即方程f(x)x，所以欲证成立．

WWW.ziyuanku.com(2)由(1)可得．WWW.ziyuanku.com 用定理1可方便地解决求增函数与其反函数图象的公共点问题：若yf(x)是增函数，yf(x)yf(x)则方程组与同解．

1yf(x)yx例如，求yx1(x0)与其反函数图象的公共点坐标．由定理1-3可得答案：215152,2．

注

减函数与其反函数的图象的公共点不一定在直线yx上．

反例1

函数y73xx(1,2),(2,1)均不在直线yx上．

7x27(x0)图象的公共点与其反函数y3311111反例2

函数y与其反函数ylog1x图象的公共点,,,均不在16422416直线yx上．

但我们有较定理1更普遍的结论成立：

定理2 若互为反函数的两个函数图象有公共点(a,b)，则它们也有公共点(b,a)．

xbf(a)证明

若曲线yf(x)与yf(x)有公共点(a,b)，得，所以1bf(a)111f(b)f(f(a))a即函数yf(x)与yf1(x)也有公共点(b,a)．

1f(b)f(f(a))a

下面用定理1,2来解答三道资源%库ziyuanku.com高考题．

题1 (2013年高考四川卷文科第10题)设函数f(x)exxa(aR,e为自然对数的底数)．若存在b[0,1]使得f(f(b))b，则a的取值范围是( ) A.[1,e] B.[1,1e] C.[e,1e] D.[0,1] 答案

A

解

因为函数f(x)在定义域内是增函数，所以由定理1(1)①知题设即方程f(x)x(x[0,1])也即aexxx2(x[0,1])有解．

设函数g(x)exxx2(x[0,1])，得g(x）ex12x(x1)12x=2x0(x[0,1])(因为用导数易证exx1(xR))，所以函数g(x)是增函数，得函数g(x)的值域是[g(0),g(1)]即[1,e]．

得所求a的取值范围是[1,e]．

题2 (2013年高考四川卷理科第10题)设函数f(x)exxa(aR,e为自然对数的底数)．若曲线ysinx上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))y0,则a的取值范围是( ) A.[1,e] B.[e1,1] C.[1,e1] D.[e答案

A

解

可得题设即“存在y0[0,1]使得f(f(y0))y0”，接下来的解答就全同题1的解答了……

题3

(2007年高考重庆卷文科第10题)设P(31)，为二次函数111,e1]

f(x)ax22axb(x1)的图象与其反函数yf1(x)的图象的一个交点，则(

) A.a15151515,b

B.a,b

C.a,b

D.a,b

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答案

C解

由定理2可得f(1)3且f(3)1，解得a15,b．22资源%库