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一、知识要点：[来源学#科#网]

1、函数奇偶性的概念

一般地，对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

一般地，对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。

理解：

(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；

(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类：

奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：

奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质：

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a

④任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

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5、判断函数奇偶性的方法：

⑴、定义法：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有fxfx〔或fx1或fxfx0〕fx函数f（x）是偶函数；

对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有fxfx〔或（x）是奇函数；

判断函数奇偶性的步骤：

①、判断定义域是否关于原点对称；

②、比较f(x)与f(x)的关系。

③、扣定义，下结论。

⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。，

⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：

①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；

②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。

③若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)。[来源学#科#网Z#X#X#K][来源:Z*xx*k.Com]fx1或fxfx0

函数ffx

核心能力必练

一、选择题

1.下列函数中是奇函数的是

(

) A．f(x)＝x2＋3

C．f(x)＝x

3B．f(x)＝1－x3

D．f(x)＝x＋1 2．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋A．－2

B．0

C．1

1，则f(－1)＝

(

)

xD．2 3. 已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与直线y1有4个交点，则方程fx10的所有实根之和是

(

) A．4

B．2

C．1

D．0 4. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x2－3x，则函数f(x)在R上的解析式是

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(

) A．f(x)＝－x(2x－3)

B．f(x)＝x(2|x|－3) C．f(x)＝|x|(2x－3)

D．f(x)＝|x|(2|x|－3) 5．下面四个说法：①奇函数的图象关于坐标原点对称；②某一个函数可以既是奇函数，又是偶函数；③奇函数的图象一定过原点；④偶函数的图象一定与y轴相交．其中正确说法的个数是

(

) A．1

B．2

C．3

D．4 6．设奇函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是

(

) A．f(π)>f(－3)>f(－2)

B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)

D．f(π)

) A．16

B．－10

C．10

D．－16 8．已知f(x)是定义在[m，n]上的奇函数，且f(x)在[m，n]上的最大值为a，则函数F(x)＝f(x)＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为

(

) A．2a＋3

B．2a＋6

C．6－2a

D．6

二、填空题

9．设函数f(x)＝x2a3为奇函数，则实数a＝________. 2x810．若函数f(x)＝(2k－3)x2＋(k－2)x＋3是偶函数，则f(x)的递增区间是____________．

11．已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2x2＋5x＋1.若当x∈[1，3]时，f(x)的最大值为m，最小值为n，则m－n的值为________．

三、解答题

12. 已知函数f(x)(x∈R)是偶函数，且当x0时，f(x)＝3x－2，求函数f(x)的解析式．

13. 判定下列函数的奇偶性．

x2122(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝1xx1；

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(3)f(x)＝3xx23；

(4)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|. 14. 已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝－2x2＋4x＋3.[来源学科网]

(1)求f(x)的表达式；

(2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间．

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