习题1.2课堂实录【3】

第1课时

函数的表示法

课后篇巩固提升

基础巩固

1.已知f

-

=x,则f(x)=(

) A.

-

-

B.

C.

-

D.

解析令

-

-

-

-

=t

,则x=

,

故f(t)=

,

即f(x)=

.

答案B 2.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=(

) A.x+1 B.x-1 C.2x+1 D.3x+3 解析因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.

答案A 3.已知函数f(x)是反比例函数,且f(-1)=2,则f(x)=

.

解析设f(x)=(

k≠0),∵f(-1)=2,∴-k=2, 即k=-2.∴f(x)=-

.

答案-

4.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(-5)=

,f(f(2))=

.

解析由题图可知f(-5)=

,f(2)=0,f(0)=4, 故f(f(2))=4.

答案

4 5.对于定义域为R的函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表: x

-2 -1 0 1 2 3 4 5 y

0 2 3 2 0 -1 0 2

则f(f(f(0)))=

.

解析由列表表示的函数可得f(0)=3, 则f(f(0))=f(3)=-1,f(f(f(0)))=f(-1)=2.

1

答案2 6.作出下列函数的图象,并指出其值域: (1)y=x+x(-1≤x≤1); (2)y=(-2≤x≤1,且x≠0).

2

解(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图所示.

由图可知y=x+x(-1≤x≤1)的值域为

-

.

(2)用描点法可以作出函数的图象如图所示.

2

由图可知y=

(-2≤x≤1,且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪[2,+∞).

7.已知f(x)为二次函数,其图象的顶点坐标为(1,3),且过原点,求f(x)的解析式.

解(方法一)由于函数图象的顶点坐标为(1,3), 则设f(x)=a(x-1)+3(a≠0).

2

∵函数图象过原点(0,0),∴a+3=0,∴a=-3.

故f(x)=-3(x-1)+3.

(方法二)设f(x)=ax+bx+c(a≠0),

-

-

依题意得

22

- 即

-

解得

∴f(x)=-3x2+6x.

8.某商场新进了10台彩电,每台单价3 000元,试求售出台数x与销售额y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.

-

2

分析本题考查函数的表示法问题,注意定义域是解题的关键,函数的定义域是{1,2,3,…,10},值域是{3 000,6 000,9 000,…,30 000},可直接列表、画图表示,分析题意得到表示y与x关系的解析式.

解(1)列表法如下: x(台) 1 2 3 4 5 y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x(台) 6 7 8 9 10 y(元) 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000

(2)图象法:如图所示.

(3)解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}.

能力提升

1.已知正方形的周长为x,它的外接圆的半径为y,则y关于x的函数解析式为(

) A.y=

x(x>0) B.y=

x(x>0) C.y=

x(x>0) D.y= x(x>0) 解析正方形外接圆的直径是它的对角线,因为正方形的边长为

,由勾股定理得(2y)2=

, 所以y2=

,即y=

x(x>0).

答案C 2.定义两种运算:ab=

-

,ab=

-

,则函数f(x)=

-

的解析式为(

) A.f(x)=

-

,x∈[-2,0)∪(0,2] B.f(x)=

-

,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞) C.f(x)=-

-

,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞) D.f(x)=-

-

,x∈[-2,0)∪(0,2]

3

解析∵f(x)=

-

-

- -

-

- -

.

-

得-2≤x≤2,且x≠0.

由

- -

∴f(x)=-答案D

-

,x∈[-2,0)∪(0,2].

3.小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t(s),他与教练间的距离为y(m),表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的(

)

A.点M

B.点N

C.点P

D.点Q

解析由图知固定位置到点A距离大于到点C距离,所以舍去N,M点,不选A,B;若是P点,则从最高点到C点依次递减,与图1矛盾,因此取Q,即选D.

答案D 4.已知函数f(x),g(x)由下表给出: x

f(x)

4 5 6 7 8 5 4 8 7 6

x

g(x) 8 7 6 5 4 6 5 8 7 4

则g(f(7))=

;不等式g(x)

.

解析f(7)=7,g(f(7))=g(7)=5.

当x=4时,f(4)=5,g(4)=4, 所以f(4)>g(4),满足不等式; 当x=5时,f(5)=4,g(5)=7,不满足不等式; 当x=6时,f(6)=8,g(6)=8,不满足不等式; 当x=7时,f(7)=7,g(7)=5,满足不等式; 当x=8时,f(8)=6,g(8)=6,不满足不等式, 所以不等式g(x)

答案5

{4,7}

4

5.已知f(

-

+1)=x,则函数f(x)的解析式为

.

解析令t=

-

+1,则t≥1.

所以x=(t-1)+.

2

故f(t)=(t-1)+(t≥1).

2

所以函数解析式为f(x)=x-x+1(x≥1).

2答案f(x)=

x-x+1(x≥1) 6.如图所示,用长为l的铁丝弯成下半部分为矩形,上半部分为半圆形的框架,若矩形的底边长为2x,求此框架围成的图形的面积y与x的函数关系式,并指出其定义域.

2

解由题意知此框架是由一个矩形和一个半圆组成的图形,而矩形的边AB=2x, 设AD=a,则有2x+2a+πx=l,即a=

x-x,其中半圆的直径为2x,半径为x.

所以框架围成的图形的面积y=

πx+

-根据实际意义知

x-x>0, 又x>0,解得0

.

2

2-

·2x=-

x+lx.

故函数y=-

x+lx,其定义域为

.

2

7.已知函数f(x)=

(a,b为常数,且a≠0)满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一解,求函数f(x)的解析式,

并求f(f(-3))的值.

解由f(x)=x,得

=x,即ax+(b-1)x=0.

2

∵方程f(x)=x有唯一解, ∴Δ=(b-1)2=0,即b=1.

∵f(2)=1,∴

=1.∴a=

.

∴f(x)=

.

∴f(f(-3))=f(6)=

.

5

8.设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则试求f(2 019)的值.

解∵f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2, 令x=y=0,得f(1)=1-1-0+2, ∴f(1)=2.

令y=0,则f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2, ∴f(x)=x+1, ∴f(2 019)=2 019+1=2 020.

6