习题3.2ppt配套的教学设计方案

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．

2．二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象

与x轴的交点

零点个数

【知识拓展】

1．有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(x1,0)，(x2,0) 2

(x1,0) 1

无交点

0

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

2．三个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(

×

) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(

×

) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(

×

) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(

√

) (5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(

√

)

1．(教材改编)函数f(x)x()的零点个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 答案

B 1解析

f(x)是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝，

2∴f(0)f(1)<0，∴f(x)有且只有一个零点．

2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(

) A．y＝cos x

C．y＝ln x

答案

A 解析

由于y＝sin x是奇函数；y＝ln x是非奇非偶函数；y＝x2＋1是偶函数但没有零点；只有y＝cos x是偶函数又有零点．

113．(2016·吉林长春检测)函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是(

) 2x1A．(，1)

eC．(2，e)

答案

C 1111111解析

因为f()＝－＋－e－2<0，f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－<0，f(e)＝＋e－－2>0，

e2e222e11所以f(2)f(e)<0，所以函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在区间是(2，e)．

2x4．函数f(x)＝2x|log0.5

x|－1的零点个数为________．

B．(1,2) D．(e,3) B．y＝sin x

D．y＝x2＋1 1212x

答案

2 1x解析

由f(x)＝0，得|log0.5x|＝2，

1x作出函数y＝|log0.5x|和y＝2的图象，

由图象知两函数图象有2个交点，

故函数f(x)有2个零点．

5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．

1答案

3，1

解析

∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得

f(－1)f(1)<0，

1∴(－3a＋1)·(1－a)<0，解得

31∴实数a的取值范围是3，1.

题型一

函数零点的确定

命题点1

确定函数零点所在区间

1x－2例1

(1)(2017·长沙调研)已知函数f(x)＝ln x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(

) A．(0,1)

C．(2,3)

B．(1,2)

D．(3,4) 1－(2)(2016·济南模拟)设函数y＝x3与y＝()x2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，2则x0所在的区间是________．

答案

(1)C

(2)(1,2) 1x－2解析

(1)∵f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上为增函数，

1－1又f(1)＝ln 1－2＝ln 1－2<0，

10f(2)＝ln 2－2<0，

11f(3)＝ln 3－2>0，

∴x0∈(2,3)，故选C. 1－(2)令f(x)＝x3－()x2，则f(x0)＝0，易知f(x)为增函数，且f(1)<0，f(2)>0，∴x0所在的区间是2(1,2)．

命题点2

函数零点个数的判断

2x－2，x≤0，例2

(1)函数f(x)＝的零点个数是________．

2x－6＋ln x，x>0

(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是(

) A．多于4

C．3

答案

(1)2

(2)B 解析

(1)当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；1当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，xf(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2. (2)由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．

在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图，

B．4 D．2

观察图象可以发现它们有4个交点，

即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．

思维升华

(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．

6

(1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(

) xA．(0,1)

C．(2,4)

B．(1,2) D．(4，＋∞) (2)函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为(

) A．4

C．6

B．5 D．7

答案

(1)C

(2)C 31解析

(1)因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数22f(x)的零点所在区间为(2,4)．

(2)由f(x)＝xcos x2＝0，得x＝0或cos x2＝0. 又x∈[0,4]，所以x2∈[0,16]．

π由于cos(＋kπ)＝0(k∈Z)，

2ππ3π5π7π9π而在＋kπ(k∈Z)的所有取值中，只有，，，，满足在[0,16]内，故零点个数为1＋5222222＝6. 题型二

函数零点的应用

2例3

(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a

的取值范围是(

) xA．(1,3)

C．(0,3)

B．(1,2) D．(0,2) (2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________________．

答案

(1)C

(2)(0,1)∪(9，＋∞) 22解析

(1)因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点xx在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.所以0＜a＜3. (2)设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，

在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示．

由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，

2y＝－x－3x，所以有两组不同解，

y＝a1－x

消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，

所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，

解得a<1或a>9. 又由图象得a>0，∴09.

引申探究

本例(2)中，若f(x)＝a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是________________．

9答案

(0，) 4解析

作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的图象如下：

39当x＝－时，y1＝；当x＝0或x＝－3时，y1＝0，

249由图象易知，当y1＝|x2＋3x|和y2＝a的图象有四个交点时，0

已知函数零点情况求参数的步骤及方法

(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．

(2)方法：常利用数形结合法．

(1)(2016·枣庄模拟)已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为________．

(2)(2015·湖南)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．

答案

(1)(－2,0)

(2)(0,2) 解析

(1)∵－a＝x2＋x在(0,1)上有解，

11又y＝x2＋x＝(x＋)2－，

24∴函数y＝x2＋x，x∈(0,1)的值域为(0,2)，

∴0<－a<2，∴－2

则当0

题型三

二次函数的零点问题

例4

已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．

解

方法一

设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1

∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，

由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，

即a2＋a－2<0，∴－2

函数图象大致如图，则有f(1)<0，

即1＋(a2－1)＋a－2<0，∴－2

思维升华

解决与二次函数有关的零点问题：(1)利用一元二次方程的求根公式；(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．

(2016·临沂一模)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是__________．

11答案

4，2

m≠2，f0<0，解析

依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足f－1·f2<0，f1·m≠2，即[m－2－m＋2m＋1]2m＋1<0，

[m－2＋m＋2m＋1][4m－2＋2m＋2m＋1]<0，11解得

4．利用转化思想求解函数零点问题

典例

(1)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．

(2)若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为________．

思想方法指导

(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围．

(2)“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域解决．

解析

(1)函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，即方程ax－x－a＝0有两个根，即函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象有两个交点．

当0

当a>1时，图象如图②所示，此时有两个交点．

∴实数a的取值范围为(1，＋∞)．

22x＋1(2)由方程，解得a＝－x，设t＝2x(t>0)，

2＋1t2＋12则a＝－＝－(t＋－1) t＋1t＋12＝2－[(t＋1)＋]，其中t＋1>1，

t＋12由基本不等式，得(t＋1)＋≥22，当且仅当t＝2－1时取等号，故a≤2－22. t＋1答案

(1)(1，＋∞)

(2)(－∞，2－22]

1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(

) A．(0,1)

C．(2,3)

答案

B 解析

∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，

∴f(1)·f(2)<0，

∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，

∴f(x)的零点所在的区间是(1,2)．

2x－1，x≤1，2．(2016·潍坊模拟)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(

) 1＋logx，x>1，2B．(1,2) D．(3,4)

1A.

21C．0或

2答案

D B．－2 D．0 解析

当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x1＝，

2又因为x>1，所以此时方程无解．

综上，函数f(x)的零点只有0，故选D. 3．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则(

) A．a

C．b

答案

B 11解析

方法一

由于f(－1)＝－1＝－<0，f(0)＝1>0且f(x)为R上的递增函数．

22故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．

∵g(2)＝0，∴g(x)的零点b＝2；

111∵h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，

222且h(x)为(0，＋∞)上的增函数，

1∴h(x)的零点c∈2，1，因此a

由f(x)＝0得2x＝－x；

由h(x)＝0得log2x＝－x，作出函数y＝2x，

y＝log2x和y＝－x的图象(如图)．

B．a

D．c

由图象易知a<0,0

故a0)的解的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 答案

B 解析

(数形结合法) ∵a>0，∴a2＋1>1. 而y＝|x2－2x|的图象如图，

∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．

1，x≤0，5．已知函数f(x)＝1则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是(

) ，x>0，xA．(1,2)

B．(－∞，－2] C．(－∞，1)∪(2，＋∞)

D．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案

D 1解析

当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝xm，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D. [x]6．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x≠0)有且仅有3个零x点，则实数a的取值范围是________________．

3443答案

4，5∪[3，2) [x]解析

当0

x[x]1当1≤x<2时，f(x)＝－a＝－a；

xx[x]2当2≤x<3时，f(x)＝－a＝－a；…

xxf(x)＝[x][x][x]－a的图象是把y＝的图象进行纵向平移而得到的，画出y＝的图象，如图所示，xxx

3443通过数形结合可知a∈(，]∪[，)．

4532

7．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________________．

3答案

{x|－

∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，

－2＋3＝－a，由根与系数的关系知

－2×3＝b.

a＝－1，∴

b＝－6，

∴f(x)＝x2－x－6. ∵不等式af(－2x)>0，

即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，

3解集为{x|－

23x，x≤a，8．已知函数f(x)＝2若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取x，x>a.

值范围是________．

答案

(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析

令φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x>a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象(图略)可得a<0或φ(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．

2x＋4a－3x＋3a，x<0，9．(2016·天津)已知函数f(x)＝

(a>0，且a≠1)在R上单调递减，logax＋1＋1，x≥0

x且关于x的方程|f(x)|＝2－恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是____________．

312答案

3，3

解析

因为函数f(x)在R上单调递减，

3－4a所以≥0，20

13

解得≤a≤. 34x作出函数y＝|f(x)|，y＝2－的图象如图．

3

xx由图象可知，在[0，＋∞)上，|f(x)|＝2－有且仅有一个解；在(－∞，0)上，|f(x)|＝2－同样33212有且仅有一个解，所以3a<2，即a<.综上可得≤a<，

33312所以a的取值范围是3，3.

*10.(2016·衡水期中)若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零11点为n，则＋的最小值为________．

mn答案

1 解析

设F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m>0，n>0)．

因为F(x)与G(x)关于直线y＝x对称，

所以A，B两点关于直线y＝x对称．

又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2，

所以m＋n＝4. 又m>0，n>0，

1111m＋n所以＋＝(＋)·

mnmn41nm1＝(2＋＋)≥(2＋2 4mn4nm×)＝1. mnnm当且仅当＝，即m＝n＝2时等号成立．

mn11所以＋的最小值为1. mn11－(x>0)．

11．设函数f(x)＝x(1)作出函数f(x)的图象；

11(2)当0

ab(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．

解

(1)如图所示．

－1，x∈0，1]，x1(2)∵f(x)＝1－x＝11－x，x∈1，＋∞，1

故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．

1111由0

12．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．

解

显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，

10

x1又∵y＝x＋在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，

x1∴y＝x＋在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)，

x∴1－m≥2，∴m≤－1，

故m的取值范围是(－∞，－1]．

*13.已知二次函数f(x)的最小值为－4，关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．

(1)求函数f(x)的解析式；

fx(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．

x解

(1)∵f(x)是二次函数且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，

∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a且a>0. 又∵a>0，f(x)＝a[(x－1)2－4]≥－4，

且f(1)＝－4a，

∴f(x)min＝－4a＝－4，a＝1. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3. x2－2x－3(2)∵g(x)＝－4ln x

x3＝x－－4ln x－2 (x>0)，

x34x－1x－3∴g′(x)＝1＋2－＝. xxx2令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3. 当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：

x g′(x)

g(x)

当0

g(x)在(3，＋∞)上单调递增，

g(3)＝－4ln 3<0，取x＝e5>3，

3又g(e5)＝e5－5－20－2>25－1－22＝9>0. e故函数g(x)只有1个零点且零点x0∈(3，e5)．

(0,1)

＋

↗

1

0

极大值

(1,3)

－

↘

3

0

极小值

(3，＋∞) ＋

↗