习题2.3教学设计

2.3 《幂函数》教学设计

授课时间：2017.10.23 授课地点：6楼录播室 授课人：陆渊

（一）教学目标1．知识与技能（1）理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x，y=x，y=x，y=x的图象.（2）了解幂函数图象的变化情况，了解几个常用幂函数的性质.2．过程与方法23－112（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生观察、分析、归纳能力.（2）使学生进一步体会数形结合的思想，类比和归纳的数学思想.3.

情感、态度、价值观（1）通过实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣.（2）利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望，培养学生学习兴趣.（二）教学重点、难点重点：常见幂函数的概念、图象和性质.难点：1.幂函数的单调性及比较两个幂值的大小.

2.归纳幂函数的性质.（三）教学方法采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性.利用实物投影仪及计算机辅助教学，利用几何画板的动态变化，激发学生的学习兴趣.（四）教学过程

教学环节教学内容

师生互动

设计意图

复习

（多媒体显示以下3个问题，每个问题的结论由学生说出，然后再在多面体屏幕学生阅读、思考、交流、口答，教师板演．培养学生的观察、归纳、概括能引入

上弹出）师：观察上述例子中函数模型，这几个函数表达式有什么共同特征？问题1：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数.生：解析式的右边都是指数式，且底数都是变量. 变量在底数位置，解析式右边又都是幂的形式，我们把这种函数叫做幂函数.问题2：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V=a3，这里V是a的函数.问题3：如果正方形场地的面积为S，12那么正方形的边长a=S，这里a是S的函数.形成（引入新课，书写课题）

力，

幂函数的定义师：请同学们举出几个具体的幂函数.理解幂函一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.

概念生：如yx,yx,yx21314等都数的定义.是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.

概念幂函数和指数函数有什么共同点和不师：由图片可以看出什么是指数函数，什么是幂函数？

培养学生类比

同点（多媒体演示形式上的异同和各部分名称）

生：未知数是指数的叫指数函数，类比未知数是底数的叫幂函数. 能力

深入理解深化概念

（多媒体演示关于幂函数的习题）

1.判断下列函数是否为幂函数. 师：请同学回答以上函数是否为幂函数

(1)yx4

(2)y1

x212生：（1）是（2）是（3）否

（4）是（5）否（6）否

师：类比指数函数，对数函数，已知图像上一点，怎样求解析式？

生：用待定系数法. 师：请同学们用待定系数法给出此题的解答。（多媒体演示答案）

师：结合幂函数的定义，幂函数的系数为1可得：mm11，由此可解（多媒体演示答案）

2幂函数的概念

(3)yx2

(4)yx

(5)y3x2

(6)yx32

2.已知（2,2）在幂函数f(x)的图像上，求f(2)的值

3.已知f(x)(m2m1)x2m3是幂函数，求m的值. 几个常用幂函数的图像及

性质探究1.研究幂函数的图像引导学生用列表描点法，应用函数（1）yx

12的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑（2）yx

（3）yx

12软件画出以上五个函数的图像.

师：请同学们在坐标纸上画出以上（4）yx

（5）yx3五个函数的图像，并完成课本78页图表. 2.通过观察图像，填P86探究中的表格

定义域

yx

R 奇

在第Ⅰ象限单调递增

yx

R 奇

2教师板书五个函数的图像.请同学回答所填图表. TONGT通过让通过让学生自

奇偶性

在第Ⅰ象限单调增减性

在第Ⅰ象己作限单调递图，增

定点

（1，1）

（1，1）

4小组

究yx探212yx

R 奇

在第Ⅰ象限单调递增

（1，1）

3yx

12yx

1y=x-1

-5幂函150 -2510数的性质和图x|x0

x|x0

非奇非偶

在第Ⅰ象限单调递增

（1，1）

奇

在第Ⅰ象限单调递减

（1，1）

-4-6-8让学生通过观察图像，分组讨论，像的-10探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂变化规律，3.幂函数性质(学生概括，教师提示)函数的性质.培养学生的画图能力和学习兴趣，通过几何画板图像

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）;师：请同学总结归纳幂函数的性质.从定点，单调性，奇偶性，图像的凹凸性等方面概括总结.

师：为什么过（1,1）点？

生：因为11. 师：增减性，自变量从左往右看，函数的增减性与什么关系？

生：分成0和0，

x

（2）当α>0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞)上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.

特别地，当α＞1时，（0，1），yxx∈2（1）0时，图像过原点，在[0,)上单调递增；

的图象都在yx图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）（2）0时，在（,0）上单调递的演减

示，

当0<α＜1时，x∈（0，1），yx的师：特别地，当1和01时图让学生对现代图象都在yx的图象上方，形状向上凸，像的凹凸性是什么样子的？当0时α越小，上凸的程度越大呢？

（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，生：1时，图像下凸；01时，技术+∞）上是减函数.图像上凸；0时，图像下凸.

师：通过观察，幂函数的奇偶性是怎样的？

生：指数为奇数时是奇函数，指数为偶数时是偶函数. 教师用几何画板演示幂函数的图像变化，再一次强化幂函数的性质. 对数学的教学有新的认识. 在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴. (4)奇偶性：为奇数时，幂函数为奇函数；

为偶数时，幂函数为偶函数. 应用 例1 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.25例1分析：解决有关函数求定义的掌握问题时，可以从以下几个方面来考虑，幂函34－2举例

（1）y=x；（2）y=x；（3）y=x.列出相应不等式（组），解不等式（组）数知即可得到所求函数的定义域. ①若函数解析式中含有分母，分母识的应用.

不能为0；

②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；

③0的0次幂没有意义；

④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.

（2）函数y=x

解：（1）函数y=x，即y=5x2，其定义域为R，是偶函数，它在［0，+∞）上单调递增，在（－∞，0］上单调递减. 3425，即y=14x3，其定义域为（0，+∞），它既不是奇函数，也不是偶函数，它在（0，+∞）上单调递减. （3）函数y=x2，即y=－1x2，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），是偶函数.它在区间（－∞，0）和（0，+∞）上都单调递减.

例2 证明幂函数f（x）=x在［0，+∞）

上是增函数. 请同学们回顾一下如何证明一个函数是增函数，然后请一个学生作答，师板书.

=

例2证明：设0≤x1＜x2，

则f（x1）－f（x2）

=x1－x2

(x1x2)(x1x2)x1x2

=x1x2x1x2，

因为x1－x2＜0，

x1+x2＞0，

合作探究：

例3 比较下列各组数的大小：

1313所以f（x1）＜f（x2），

即幂函数f（x）=x在

［0，+∞）上是增函数. 小结：以上是用作差法证明函数的单调性，还可以用作商法证明函数的单调性，作简要分析，提出注意点：在证得f(x1)＜1后，要比较f（x1）与f（x2）f(x2)的大小，要注意分母的符号. 例3分析：比较两个或多个数值的（1）1.5，1.7，1；

（2）（－2）22323，（－251072）3，1.13543大小，一般情况下是将所要比较的两个；

或多个数值转化为比较某一函数的不同函数值的大小问题，进而根据所确定的函数的单调性，比较自变量的大小即可.若所给的数值不能转化为比较同一函数的不同函数值的大小问题，可以找出中间量来作为桥梁间接地进行比较，确定出它们的大小关系，一般情况下是根据具体情况选择常数“1”“－1”或“0”这些数作为中间量来进行比较. 11.53（3）3.8，3.9，（－1.8）；

（4）31.4，51.5.

解：（1）∵所给的三个数之中

和11.73的指数相同，且1的任何次幂都131、1.7313是1，因此，比较幂1.513、1的大小就是比较1.51、1.73、1的大小，也就是比较函数1y=x3中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确1y=x3定，只需确定函数1y=x3的单调性即可，又函数在（0，+∞）上单调递增，131＞1.53且1.7＞1.5＞1，所以1.72（2）（－）2223＞1. 22=（）3，

2107（－）3=（）3，

71043232321.1=［（1.1）2］23=1.21. ∵幂函数y=x调递减，且在（0，+∞）上单27＜＜1.21，

21023∴（7）1023＞（2）223

＞1.21即（－，

2323

210）＞（－）27＞1.143. （3）利用幂函数和指数函数的单

课堂练习

1.下列函数中，是幂函数的是

12调性可以发现0＜3.83523＜1，3.9＞1，25（－1.8）＜0，从而可以比较出它们的大小. （4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5. 小结：（1）当底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了. （2）当底和指数都不同，插入一个中间数，综合利用幂函数和指数函数的单调性来比较. 课堂练习答案：

1. C

2. D

3. D

4. a=1，m=1，3，5，7. B.y=3x2 D.y=2x

A.y=－x

C.y=1

x

2.下列结论正确的是

A.幂函数的图象一定过（0，0）和

（1，1）

B.当α＜0时，幂函数y=xα是减函数

C.当α＞0时，幂函数y=xα是增函数

D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数

3.幂函数f（x）=axm28m（m∈Z）的图象与x轴和y轴均无交点，并且图象关于原点对称，求a和m. 4.比较大小：

（1）0.5与0.490.6

（2）0.6-5与0.8-5

（3）0.2与0.3

归纳

1.幂函数的概念以及它和指数函数表学生先自回顾反思，教师点评完善．

形成知识体系. 3.52.10.6总结

达式的区别. 2.常见幂函数的图象和性质. 3.幂值的大小比较方法.

课后

作业：2.3 第一课时

习案

作业

学生独立完成

巩固新知

提升能力

（五）教学板书

1.幂函数定义：

2.幂函数与指数函数的关系：

3.幂函数的图像与性质：

4.比较大小：搭桥法

（六）教学反思

1.幂函数与指数函数概念的比较内容可以删减；

2.用几何画板再一次演示幂函数性质时，对凹凸性的讲解可以不用那么详细；

3.对于幂指数的比较大小，可以多出习题，课堂上更侧重一些.