习题3.1课件配套优秀教案案例

函数的零点

【教学目标】

1.知识与技能

：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，掌握零点存在的判定条件．

2.过程与方法：零点存在性的判定．

3.情感、态度、价值观

：

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

【教学重点】

零点的概念及存在性的判定．

【教学难点】

零点的确定及应用．

【教学方法】

发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】

一 复习回顾（提问学生回答）

1.函数的零点

(1)函数零点的概念

对于函数y＝f(x)，把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程根的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 有交点⇔函数y＝f(x) 有 (3)零点存在性的判定

如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是 的一条曲线；② ；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的根. 【小试牛刀】判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).(

) （2）如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象有f(a) ·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b) 内一定有零点。 （ ）

（3）如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么函数y=f(x)在区间(a,b) 内一定有零点。 （ ）

（4）如果函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，一定有f(a) ·f(b)< 0。 （ ）

（5）如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a) ·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内零点唯一。

（ ） 二 考点讲解

1

考点一

函数零点所在区间的判断

【例1】设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(

) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 规律方法

确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点存在的判定：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 1跟踪训练1 已知函数f(x)＝ln x－2A.(0，1) x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(

) D.(3，4)

B.(1，2) C.(2，3) 考点二

函数零点个数的判断

【例2】（1）函数f(x)xcos2x在区间[0,2]上的零点的个数为(

) A．2 B．3 C．4 D．5

x－2，x≤0， (2)函数f(x)＝的零点个数是________. 2x－6＋ln x，x>02 (3)函数f(x)＝2|log0.5x|－1的零点个数为(

) A.1 B.2 C.3 D.4 x规律方法

函数零点个数的判断方法：

(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性的判定，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；

(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 跟踪训练2 （1）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为（ ） A．{1,3} B．{3,1,1,3} C．{27,1,3} D．{27,1,3}

π2（2）f(x)＝2sin xsinx＋－x的零点个数为________. 2考点三

函数零点的应用（含参数问题）

2xa‚x1【例3】（1）设函数f(x)．其中（a0），若f(x)恰有2个零点，则实4(xa)(x2a)‚x≥1数a的取值范围是______．

0，x≤0，（2）已知函数f(x)＝x则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围e，x>0，是(

) A.[0，1) B.(－∞，1) C.(－∞，1]∪(2，＋∞)

2

D.(－∞，0]∪(1，＋∞)

（3）若函数f(x)＝|2－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________. 规律方法

已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法：

(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解. e＋a，x≤0，跟踪训练3 （1）已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，3x－1，x>0xx则a的取值范围是(

) A.(－∞，－1) B.(－∞，0) C.(－1，0) D.[－1，0) |x|，x≤m，（2）已知函数f(x)＝2其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)x－2mx＋4m，x>m，＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________. 【例4】设函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c.设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围. 解：当a＝b＝4时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，

所以f′(x)＝3x2＋8x＋4. 令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，

2解得x＝－2或x＝－. 3当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：

x f′(x)

f(x)

(－∞，－2)

＋

－2

0

c 32－2，－2

3－

2－

30

32c－

27－2，＋∞

3＋

2232－2，－，x3∈－，0，使得f(x1)所以，当c>0且c－<0，存在x1∈(－4，－2)，x2∈3327＝f(x2)＝f(x3)＝0. 320，时，函数f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点. 由f(x)的单调性知，当且仅当c∈27mx,mR．讨论函数g(x)f(x)零点的个数．

x3x1mx解：由题设g(x)＝f′(x)－＝－2－(x>0)，

3xx3跟踪训练4 设函数f(x)lnx11令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)，设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，

33则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；

3

当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．

∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，

2∴φ(x)的最大值为φ(1)＝. 3又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图所示)，可知

22①当m >时，函数g(x)无零点；②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；

332③当0

322综上所述，当m>时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零332点；当0

3三

课堂小结：

1 函数零点所在区间，零点个数的判断，以及含参数问题。

2 数学中数形结合思想，函数与方程思想，转化思想的应用。

四

课后作业

（1）方程lgx＋x＝0的根所在的区间可能是(

) A．(－∞，0) B．(0.1,1) C．(1,2) D．(2,4) 6（2）已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(

) xA．(0,1) （3）函数B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞)

的零点个数为 11f(x)x2()x2（4）函数f(x)lnx的图象与函数g(x)x24x4的图象的交点个数是 （5）函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________. 2－a，x≥0，（6）已知函数f(x)＝2x＋ax＋a，x<0x

x有三个不同的零点，则实数a的取值范围

是_ log2x－（7）已知函数f(x)＝2－x－2x，，x

若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点， 则实数m的取值范围是________．

（8）已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0，2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围

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