阅读与思考 对数的发明教学设计及教案分析

基于数学史的对数概念教学设计

东莞高级中学 李晓敏

一、教学内容

对数的概念（人教A版普通高中数学必修一2.2.1 P62-P64，第1课时）

二、教材分析

本节包括对数概念、对数与指数的互化和对数的运算性质，这是学生学习对数函数的基础.教材借助例题中的指数函数，由“已知底数和幂的值，求指数”直接引出对数的概念.这种引入方式虽然直截了当地指出指数和对数的互逆关系，但是对于大部分学生而言太过于抽象.学生难以通过定义了解对数是如何计算，和它最初是如何被发明的；因此，也就很难体会到对数强大的简化运算的功能，以及引入对数概念的必要性. 三、学情分析

1. 认知基础

学生已学习了指数的知识，以及加法和减法、乘法和除法、乘方与开方之间的互逆关系，因此可以较容易地接受指数与对数的互逆关系，并由此得到对数的概念. 2．认知障碍

用对数符号来表示指数x. 四、教学目标

1．知识与技能

理解对数的概念（即：对数logaN是一个数，底a的logaN次幂等于真数N）以及指数与对数的互逆关系. 2. 过程与方法

（1）经历对数概念的提出过程，学习将乘法和除法转化为指数的加减以及乘方和开方转化为指数的乘除运算的化归思想；

（2）通过类比减法、除法、开方运算学习对数概念的过程，学习类比思想和垂直数学化的思想. 3. 情感态度与价值观

（1）感受引入对数概念十分必要；

（2）领悟对数强大的简化运算的功能；

（3）体会对数源于生活中数学运算的需要，它有较高的科学价值和应用价值. 五、教学重点与难点

1. 教学重点

理解对数的概念以及指数与对数的互逆关系. 2. 教学难点

底数和真数的限制条件.

六、教学方法与手段

1.教学方法

问题驱动、引导探究.

2.教学手段

计算机、PPT、几何画板.

七、教学流程设计

设计意图：通过一组运算量较大的计算题使学生产生认知障碍，结合对数产生的历史背景，使学生体会到现实生活对数学发展的推动作用，激发学生寻找新的运算方法的动力.

设计意图：在学生尚未形成对数的概念时，先给出一组比较特殊的数字，通过寻找规律并将其运用到化简计算的探究过程，使学生初步体会到对数在化简一些复杂计算时的作用. 设计意图：对算式进行变形，激发学生继续思考的动力.回顾数学史上对数表的发明，使学生了解数学家在解决问题的过程中所做的努力，培养学生锲而不舍的探究精神和科学态度. 设计意图：通过类比数的运算的发展规律，引出对数的概念，揭示指数和对数的互逆关系，培养学生的类比思想.通过分析底数和真数的限制条件，使学生更深刻地理解对数的概念，强化指数和对数的联系. 设计意图：根据桑代克的练习律与斯金纳的强化原理设计该练习，使学生熟练掌握指数式和对数式的互化.

设计意图：通过介绍科学家们对对数的高度评价和对数在科学领域的广泛应用，使学生了解对数的科学价值和应用价值. 设计意图：小结意在巩固本节课所学知识，回顾探索历程；作业意在使学生进一步熟悉对数的概念及指数和对数的互化. 问题引入

探究发现

变式思考

形成概念

巩固运用

知识拓展

小结及作业

八、教学过程设计

（一）问题引入

问题1：请计算下面的式子（不使用计算器）：

．．．．．．

（1）32256 （2）4096128 （3）163 （4）16384

教师活动：请学生回答计算结果并谈谈计算的感受. 学生活动：计算并发表感受（计算量大）. 历史上，科学家也曾经遇到相同的问题！

背景介绍1：在16世纪，随着哥白尼“日心说”的盛行，天文学也蓬勃发展.欧洲人渐渐热衷于地理探险和海洋贸易，特别是地理探险需要更准确的天文知识，需要对庞大的“天文数据”进行快速和准确的计算.但那时候还没有计算机，人们迫切需要找到一种方法提高运算效率.那该怎么办呢？

设计意图：通过一组运算量较大的计算题使学生产生认知障碍，结合对数产生的历史背景，使学生体会到现实生活对数学发展的推动作用，激发学生寻找新的运算方法的动力. （二）探究发现

问题2：阅读下列资料，回答问题：

1714年，德国数学家斯蒂菲尔研究了下面的两列数：

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 请大家想一想，斯蒂菲尔会发现其中什么规律呢？

学生活动：思考并发现规律. 教师活动：归纳结论：若设第一列中的数为n的话，那么第二列对应的数则为2n. 问题3：后来，英国数学家纳皮尔受到这个表格的启发，发现了可以利用这个规律来简便计算问题1中的题目！同学们，你知道他是怎么算的吗？

学生活动：思考问题并进行猜想. 教师活动：肯定学生的发现，并总结纳皮尔的发现：第一列数的加减运算结果与第二列数的乘除运算结果之间存在着对应关系.例如，要计算32256，则计算其对应的第一列的数5和8的和得到13，再找到13对应的第二列的结果8192即可. 引导学生给出简化算法：

（1）3225625282582138192；

（2）409612821227212-7=2532；

（3）163(24)32124096；

（4）16384(2)27128.

问题4：这四个式子的运算方法有什么共同特点吗？

学生活动：思考问题，并尝试作出回答. 教师活动：补充学生的想法，共同特点：把要运算的数转化成以2为底的指数，这个过程实质是解关于x的方程：2xN，N0为已知数.这样就可以化两1412

个数的乘除为对应指数的加减，化乘方、开方为指数的乘除运算，起到简化简运算的作用. 设计意图：在学生尚未形成对数的概念时，先给出一组比较特殊的数字，通过寻找规律并将其运用到化简计算的探究过程，使学生初步体会到对数在化简一些复杂计算时的作用. （三）变式思考

问题5：把原来的第（1）问改成132156，还能否用同样的方法解决呢？

学生活动：可能会质疑原来的方法行不通，也可能想到利用非整数的指数幂. 教师活动：由指数函数的图象和性质可知，方程2x132和2x156的解存在且唯一. 通过几何画板展示，解出方程2x132和2x156的两个解，再用同样的方法即可解出近似解. 这就给了当时的科学家一个启示：如果制作出了足够多组数的表格，就可以利用它来计算类似的问题了.而历史上许多数学家为了这项工作奉献了毕生的精力. 背景介绍2：纳皮尔就花了20多年的时间编制出这样的表格，不过他选取的底数不是2，而是一个较复杂的数.后来英国数学家布里格斯专程拜访了纳皮尔，建议将底数改为10，符合人们使用十进制的习惯.于是，他花了大量时间和精力，终于在1617年编制了以10为底的表格，以供人们计算较大的数据. 设计意图：对算式进行变形，激发学生继续思考的动力.回顾数学史上对数表的发明，使学生了解数学家在解决问题的过程中所做的努力，培养学生锲而不舍的探究精神和科学态度. （四）形成概念

在刚刚的探究中，我们发现运算的简化不一定以2为底，也可以以其它数为底，如布里格斯就是以10为底. 一般地，可以以a为底，这样化简运算的关键是：给定a，对于每个N，求解关于x的方程：axN. 问题6：如果这个方程的解不是有理数，如何才能不用近似值表示这个方程的解呢？

学生活动：不知所措，有预习的学生可能会说用对数来表示. 问题7：观察数的运算的发展，思考问题：

（1）已知axb，求x

（2）已知axb，求x

（3）已知xb，求x

nyy = 2xOx引入符号""

xba

引入符号""

xba

xnb

引入符号"n"

（4）已知ab，求x

x怎么做？

？

学生活动：引入新的符号来表示这个方程的解！

教师活动：肯定学生的想法：数学符号就是在需要解决一种新的运算的时候而被创造的！而这个新的符号就是我们本节课要掌握的内容——对数. 提出概念：一般地，如果axN(a0,且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN(a0,且a1,N0)，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 根据定义，可以得到对数和指数间的关系：

当a0,a1时，axNxlogaN. 通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN.将以e为底的对数称为自然对数，把logeN记为lnN. 背景介绍3：由此可知，对数是指数的逆运算.但有趣的是，在数学史上，对数却是先于指数被发现的.1614年，纳皮尔发明了对数和对数表.1637年，法国数学家笛卡儿发明了指数，比对数晚了20多年，当时人们并没有发现指数和对数之间的关系.后来，数学家欧拉才提出“对数源于指数”，这一说法得到了数学家们的广泛认可.至此，对数逐渐得到完善，成为我们今天所用的对数. 设计意图：通过观察数的运算的发展规律，类比联想到建立新的符号来解决新的运算问题，引出对数的概念，揭示指数和对数的互逆关系，培养学生的类比思想.

问题8：为什么对数的定义中要满足底数a0,且a1，N0呢？

学生活动：思考问题并回答. 教师活动：提示学生根据指数和对数的互逆关系，举反例分析限制条件. logaNxaxN(a0且a1)

当a0，在实数范围内logaN1没有意义，即找不到对应的N使得aN；

2当a1，N1时，log1N是没有意义的；同理可得a0的情况. 而指数函数的定义域为(0,)，所以N的取值范围是N0. 总结：负数和零没有对数. 设计意图：通过分析对数定义中的底数和真数的限制条件，使学生更深刻地理解对数的概念，强化指数和对数的联系. （五）巩固运用

问题9：根据对数的定义，计算:

（1）log28；（2）log21；（3）loga1；（3）logaa.(a0,a1)

学生活动：通过上面的计算题，发现两个结论：loga10，logaa1. 问题10：求下列各式中x的值：

2（1）log64x；（2）logx86；（3）lg100x；（4）lne2x. 3（六）知识拓展

历史上的科学家对对数的发明给予高度评价：

拉普拉斯说：（对数）用缩短计算时间延长了天文学家的寿命.

伽利略说：给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙.

恩格斯说：对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是17世纪数学史上的3大成就.

背景介绍4：自从有了计算机，对数在简化计算上的作用已经大大降低，但是它在现实生活中的应用却遍布各大领域：

在生物领域，利用“半衰期”求生物死亡年在化学领域，对数用于测量PH值；

在地理领域，对数用于计算地震强度；

在物理领域，对数用于测量声音的分贝. 数的问题；

设计意图：通过介绍科学家们对对数的高度评价和对数在科学领域的广泛应用，使学生了解对数的科学价值和应用价值.

（七）小结及作业

小结：

1．对数的定义是什么？底数和真数要满足什么限制条件？

2．对数和指数间的关系：当a0,a1时，axNxlogaN. 3．两个特殊对数：lgN和lnN. 4．loga10，logaa1. 作业：

1．上网搜索了解对数的发展史；

2．课本练习题P64 第1,2,3题. 设计意图：小结意在巩固本节课所学知识，回顾探索历程；作业意在使学生进一步熟悉对数的概念及指数和对数的互化.

九、板书设计

§2.1.1对数的概念

对数：如果axN(a0,且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN(a0,且a1,N0)

其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 例题讲演

（1）32256 （2）4096128 （3）163 axNxlogaN

常用对数：log10NlgN

自然对数：logeNlnN

（4）16384

……