习题3.2课堂实录及点评

课时提升训练

八

生活中的优化问题举例

(45分钟

100分)

一、选择题(每小题5分，共40分) 1.已知某商品的生产成本C与产量q(0

(

) A.76

B.80

C.84

D.88 【解析】选C.收入R=qP=q利润L=R-C=-(100+4q) =25q-q2，

=-q2+21q-100(00; 当84

) A.8 m3

B.12 m3

C.16 m3

D.24 m3

【解析】选A.设长方体的底面边长为x m，

则高为(6-2x)m，

所以0

V′=12x-6x2，

令V′=0得x=2或x=0(舍)，

所以当x∈(0，2)时，V是增函数，

当x∈(2，3)时，V是减函数，

所以当x=2时，Vmax=4×2=8(m3). 3.某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为 (

) A.16 m，16 m

B.32 m，16 m C.32 m，8 m

D.16 m，8 m 【解析】选B.如图所示，

设场地一边长为x m，则另一边长为 m.因此新墙总长度L=2x+(x>0)，

L′=2-.令L′=0，得x=16或x=-16(舍去). 因为L在(0，+∞)上只有一个极值点，

所以它必是最小值点.因为x=16，所以=32. 故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省. 4.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，则其高应为

(

)

A.C.5 cm

B. cm

D. cm cm 【解析】选D.如图，设圆锥底面半径为r，高为h，

则h2+r2=202. 所以r=，

所以圆锥体积V=πr2h =π(400-h2)h =π(400h-h3)，

所以V′=π(400-3h2)，

令V′=0，得h=当00;当h>时，V最大. 5.(2018·烟台高二检测)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为:y=-x3+27x+123(x>0)，则获得利润最大时的年产量为

(

)

A.1百万件

B.2百万件

C.3百万件

D.4百万件

【解析】选C.因为y=-x3+27x+123(x>0)，

所以y′=-3x2+27=-3(x+3)(x-3)(x>0)，

所以y=-x3+27x+123在(0，3)上是增函数，

在(3，+∞)上是减函数，

故当x=3时，获得最大利润. 6.(2018·梅州高二检测)设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为 (

) A.

B.

C.

D.2

【解析】选C.如图，

设底面边长为x(x>0)，则底面积S=x2，

所以h==. S表=x·×3+x2×2=+x2，

S′表=x-，令S′表=0得x=，

因为S表只有一个极值，故x=为最小值点. 7.如图，在等腰梯形ABCD中，CD=40，AD=40，梯形ABCD的面积最大时，AB等于 (

)

A.40

B.60

C.80

D.120 【解析】选C.设∠BAD=θ，则AB=40+2×40cos θ，梯形高h=40sin θ，从而梯形面积S=1 600(1+cos θ)sin θ. 故S′=1 600(cos θ+cos 2θ).

令S′=0，得cos θ=-1(舍)或cos θ=，即θ=，此时AB=80，即当AB=80时，梯形有最大面积1 200. 8.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为

(

) A.和R

B.R和R C.R和R

D.以上都不对

【解析】选B.设矩形的宽为x，则长为2，

则l=2x+4去). (00;当R

R，R. R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为二、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2018·河源高二检测)把长为60 cm的铁丝围成矩形，长为

，宽为

时，矩形的面积最大.

【解析】设长为x cm，则宽为(30-x)cm，

此时S=x·(30-x)=30x-x2，令S′=30-2x=0，

所以x=15.当00，当15

米.

【解析】设广场的长为x m，则宽为m，于是其周长为y=2(x>0)，所以y′=2，令y′=0，解得x=200(x=-200舍去)，这时y=800.当0200时，y′>0，所以当x=200时，y取得最小值，故其周长至少为800 m. 答案:800

10.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元.那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站

千米处.

【解析】设仓库与车站相距x千米，依题意可设每月土地占用费y1=，每月库存货物的运费y2=k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数，

于是由2=得k1=20;由8=10k2得k2=. 所以两项费用之和为y=+(x>0)，

y′=-+，令y′=0，

得x=5或x=-5(舍去). 当05时，y′>0.所以当x=5时，y取得极小值，也是最小值.所以当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小. 答案:5 三、解答题(每小题10分，共20分) 11.如图，内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，求此矩形的面积的最大值.

【解析】设CD=x，则点C坐标为所以矩形ABCD的面积S=f(x)=x·，点B坐标为

，

=-+x，x∈(0，2). 由f′(x)=-x2+1=0，

得x1=-(舍)，x2=，

所以x∈时，f′(x)>0，f(x)是递增的; x∈时，f′(x)<0，f(x)是递减的，

所以当x=时，f(x)取最大值. 12.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b>0)，固定部分为a元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域. (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？

【解析】(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y=a·+bv2·

=s，

，v∈(0，c]. 故所求函数及其定义域为y=s(2)由题意知s，a，b，v均为正数. 由y′=s=0得v=，0

即当v=时，全程运输成本y最小. ②若>c，v∈(0，c]，此时y′<0，则函数在(0，c]上为减函数，所以当v=c时，y最小. 综上所述，为使全程运输成本y最小，当时，行驶速度v=c.

≤c时，行驶速度v=;当>c1.(5分)(2018·昆明高二检测)某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是

R(x)=数是

(

) 则当总利润最大时，每年生产产品的单位A.150

B.200

C.250

D.300 【解析】选D.因为总利润

p(x)=

当0≤x≤390时，p′(x)=-令p′(x)=0，得x=±300，

x2+300，

当x∈(0，300)时，p′(x)>0，p(x)递增，

当x∈(300，390)时，p′(x)<0，p(x)递减，

所以当x=300时，p(x)有最大值40 000元，

当x>390时，p(x)=90 090-100x-20 000<90 090-100×390-20 000=31 090<40 000，

所以当x=300时，总利润最大. 2.(5分)若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为

(

) A.2πr2

B.πr2

C.4πr2

D.πr2

【解析】选A.如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R=rcos θ，l=2rsin θ，

所以S侧=2πRl

=2πrcos θ×2rsin θ

=4πr2sin θcos θ. 所以由S′侧=4πr2(cos2θ-sin2θ)=0，

得θ=.所以当θ=，即R=r时，S侧最大，且S侧最大值为2πr2. 3.(10分)某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6

因为售价为10元时，年销量为28万件，

所以-28=k+，解得k=2.

所以u=-2=-2x2+21x+18. 所以y=(-2x2+21x+18)(x-6) =-2x3+33x2-108x-108(6

=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9). 令y′=0，得x=2(舍去)或x=9，

显然，当x∈(6，9)时，y′>0; 当x∈(9，11)时，y′<0. 所以函数y=-2x3+33x2-108x-108在(6，9)上是递增的，在(9，11)上是递减的. 所以当x=9时，ymax=135，所以售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元. 4.(10分)在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量h(x)(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足的关系式h(x)=f(x)+g(x)(3

即所以h(x)=解得+4(x-7)2(3

+4(x-7)2，设每日销售套题所获得则F(x)=(x-3)

=10+4(x-7)2(x-3)=4x3-68x2+364x-578，

从而F′(x)=12x2-136x+364=4(3x-13)(x-7)，3

则x∈时，F′(x)>0，所以函数F(x)在上单调递减，

上单调递增;x∈时，F′(x)<0，所以函数F(x)在所以x=≈4.3时，函数F(x)取得最大值. 故当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.