习题2.1课堂实录【3】

函数的奇偶性

教学目标：

1、理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力。

2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想。

重点难点：

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义。

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式。

教学过程：

导入新课：

我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受：和谐美、自然美、对称美……，今天，我们就来探究数学中的对称美：函数的奇偶性。

推进新课：

一、探究下列问题：

1、观察下列两个函数的图象，它们有什么共同特征吗？相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？你能由此得出偶函数的定义吗？偶函数的定义域有什么特征？

1

Yf(x)=x299Yf(x)= x 411234-4-3-2-10-14101234-4-3-2-1-1XXX...-3-2-1094123...X...-3-2-1032123...f(x)=x2...10149...f(x)= x ...10123...偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(–x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

偶函数的定义域关于原点对称。

2、观察下列两个函数的图象，它们有什么共同特征吗？相应的两个函数值对应表又是如何体现这些特征的？你能由此得出奇函数的定义吗？奇函数的定义域有什么特征？

Yf(x)=x32101234-4-3-2-1-1-2-3x...-3-2-100123...32101234-4-3-2-1-1-2-3Xf(x)=Yf(x)=1xXX...-3-2-101...-1-1-1x32121123...1...3f(x)=x...-3-2-1123.../奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(–x)=–f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

奇函数的定义域关于原点对称。

2

3、偶函数和奇函数的图象各有什么特征？

偶函数的图象关于y轴对称。

奇函数的图象关于原点对称。

4、偶函数和奇函数的单调性各有什么规律？

偶函数在y轴两侧一增一减。

奇函数在原点两侧同增同减。

二、应用示例：

例1、判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)=x4;

(2)f(x)=x5

11（3）

f(x)= x+

(4) f(x)=2

xx解：（1）对于函数f(x)= x4，其定义域为（－∞，+∞）

因为

对定义域内的每一个x，

都有f(－x)=（－x）4=x4=f(x)，

所以

函数f(x)= x4为偶函数。

（2）对于函数f(x)= x5，其定义域为（－∞，+∞）

因为

对定义域内的每一个x，

都有f(－x)=（－x）5=－x5=－f(x)，

所以

函数f(x)= x5为奇函数。

1（3）对于函数f(x)= x+，其定义域为{x∣x≠0} x因为

对于定义域内的每一个x，都有

f(－x)=

－x+11=－（x+）=－f(x) xx

3

1所以

函数f(x)= x+为奇函数。

x

（4）对于函数f(x)=1，其定义域为{x∣x≠0} 2x因为

对于定义域内的每一个x，都有

11f(－x)= == f(x) 22x（x）1所以

函数f(x)= 2为偶函数

x探究：利用定义判断函数奇偶性分哪几步？

1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称。

○2确定f(－x)与f(x)的关系。

○3作出相应结论：

○若f(－x)= f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数。

若f(－x)=－f(x)或f(－x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数。

变式训练：

判断下列函数的奇偶性：

x21（1）f(x)= 2x+3x

（2）f(x)=

x42x3x2(3) f(x)=

(4) f(x)= x24+4x2

x1解：（1）对于函数f(x)=2x4+3x2，其定义域为（－∞，+∞）

因为

对于定义域中的每一个x，都有

f(－x)=2（－x）4+3（－x）2=2x4+3x2=f(x) 所以

函数f(x)= 2x4+3x4为偶函数。

x21（2）对于函数f(x)=，其定义域为（－∞，+∞）

x

4

因为

对于定义域中的每一个x，都有

（x）21x21f(－x)==－=－f(x) xxx21所以

f(x)=为奇函数

xx3x2（3）对于函数f(x)=，其定义域为{x∣x∈R且x≠1}，

x1x3x2并不关于原点对称，所以函数f(x)= 既不是奇函数又不是偶函数。

x1（4）∵

x2－4≥0 且 4－x2≥0 ∴

x=±2 即f(x)的定义域为{－2，2} ∵

f(2)=0，

f(－2)=0 ∴

f(－2) = f(2)，

f(－2)=－f(2) ∴

f(－x)= f(x)

且

f(－x)=－f(x) ∴

f(x)既是奇函数又是偶函数

探究：（1）若f(x)是（－a，a）(a＞0)上的奇函数，则f(0)等于多少？

探究结果：f(0)=0 （2）若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)等于多少？

探究结果：f(0)=0 例2、（2006年上海春季高考，6）已知函数f(x)是定义在（－∞，+∞）上的偶函数，当x∈（－∞，+0）时，f(x)= x－x4，则当x∈（0，+∞）时，f(x)=

。

解：当x∈（－∞，+0）时，则－x＜0 又∵

当x∈（－∞，+0）时，f(x)= x－x4

5

∴

f(－x)=（－x）－（－x）4=－x－x4=f(x) ∴

当x∈（0，+∞）时，f(x)=

－

x－x4 变式训练：

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)= x2+3x,求f(x) 解：当x=0时，f(－0)=－f(0)，则f(0)=0 当x＜0，－x＞0，由于函数是奇函数，则

f(x)=

－f(－x)=

－[（－x）2+3x]=－x2+3x

x2+3x （x＞0）

综上可得，f(x)=

0

（x=0）

－x2+3x （x＜0）

三、课堂小结：

本节主要学习了函数的奇偶性：

（1）判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，

（2）函数的奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立。

双峰三中数学组

2008年10月1日

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