3.2.1 对数名师教学视频（文字实录）

“对数的概念”教学设计

“对数的概念”的学习重点是对数概念的精致化理解与求解对数值的一般步骤，学习难点是对数符号语言的运用．教学过程包含以下环节：课前导入，数字游戏；创设情境，引出概念；学生活动，精致概念；数学应用，理解概念；回顾反思，升华概念．

一、教材内容的理解与学习目标的制定

1．教材的地位和作用分析

“对数函数”作为学生进入高中后学习的第2类重要函数模型，被安排在必修1第3章“指数函数、对数函数和幂函数”的第2节，共分3个课时完成．“对数的概念”又是第2节中第1课时内容，对于高一学生来讲是一个全新的概念．此前，学生已经学习了分数指数幂及指数函数，知道了开方运算就是已知指数和幂求底数，而本节课将学习的对数则是已知底数和幂值反过来求指数．对数的概念的学习既能加深学生对指数式的理解，又为后面对数的运算性质及对数函数的学习打好基础，起到了承前启后的重要作用．

2．学习目标的制定

①通过具体实例体会学习对数的必要性，通过挖掘内涵达成对数概念的精致化理解；

②会熟练地进行指数式与对数式的互化，并掌握求解对数的值的一般步骤；

③感受化归与转化的数学思想方法，学会用相互联系的观点看问题．

3．学习重难点的确定

①学习重点：对数概念的精致化理解，求解对数的值的一般步骤．

②学习难点：对数符号语言的运用．

4．教学方法与教学技术的选用

①教学方法：问题驱动法——设计问题串，引发学生数学思维活动．

②教学技术：计算机辅助教学．

二、教学过程的设计及其意图

（一）课前导入，数字游戏．

已知下面两行数字：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．

0、1、2、3、

4 、5 、

6 、

7

、8

、

9

、10

、11

、12

、13、

14

、……；

1、2、4、8、

16、32、

64、

128、256、

512、1024、2048、4096、8192、16384、……．

如果我们要计算第2行中两个数的乘积，那么只需要通过第1行对应数字的和来实现．你相信吗？你知道其中的数学原理吗？

设计意图：这个数学游戏，一方面激发学生的好奇心，产生问题意识，尽快地进入学习状态；另一方面这是400年前苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550-1617年）首先发明了这种计算方法，重温对数发明的历史，为新知识的学习设计了先行组织者．

（二）创设情境，引出概念．

1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……，以此类推．设1个这种细胞经过x次分裂后，细胞的总数为y个，试写出y关于x的函数关系式．

（1）分裂5次后，细胞的个数是多少？

（2）分裂多少次后，细胞的个数为64？256呢？1024呢？

（3）这类问题有哪些解决方案呢？

2．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%．不妨设该物质最初的质量为1，经过x年后，剩留质量为y，请写出y关于x的函数关系式．

（1）经过3年后，这种物质的剩留量是多少？

（2）经过多少年后，这种物质的剩留量是原来的一半呢？

（3）这类问题又有哪些解决方案呢？

3．你能写出一个式子，概括出上述遇到的所有问题吗？这是一类什么样的问题？

设计意图：利用上节课中遇到的两个具体实例提出新的问题，温故而知新．问题1可以逆向估算，问题2可以借助指数函数图象求近似解．但是数学上更希望顺向求解，或者表示出准确解，怎么办呢？从而提出了一类新问题：已知底数a和幂N，求指数x．一般形式为：axN．此时指数x就是我们要寻找的与幂N对应的数，简称为对数，这也就是我们本节课要研究的课题，体现了学习对数的必要性问题．

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（三）学生活动，精致概念．

1．在指数式abN中，

（1）已知b,N，求解a．这是一种什么样的运算方式？使用什么样的数学符号表示？

譬如，已知a32，求解a．

（2）已知a,N，求解b．这又是一种什么样的运算方式？使用什么样的数学符号表示？

譬如，已知2b5，求解b．

设计意图：如何让对数的概念给出更为自然呢？笔者认为上一节内容中学习的根式就是一个非常好的引导性材料，为此设置了一个“并列组织者”，营造一个类比学习的氛围．这样从开方运算到对数运算，从根式符号a32到对数符号blog25，新的数学符号引入及其表示就呼之欲出了，也让学生经历了数学符号的引进过程．

2．对数的概念

一般地，如果abN(a0,且a1)，那么b叫做以a为底N的对数．记作：logaNb，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

3．对数概念的精致

（1）数学符号logaN表示什么意义？怎么读？怎么规范地书写？

（2）运用对数的概念，尝试解决下列问题：

①在指数式0.84x0.5中，你能表示出对数x吗？

②已知3t5，按照对数的定义，在3,5,t中哪个数叫对数呢？

（3）abN与logaNb表示三个量a,b,N之间的同一关系，你能说出两个式中每个字母的名指数

对数

称吗？

abN



blogaN

底数

幂

真数

（4）对于两种特殊的对数，你能熟悉其记法与读法吗？

①通常将以10为底的对数称为常用对数，并把log10N简记为lgN；

②在科学技术中，常使用以无理数e2.71828

为底的对数，称为自然对数，并把logeN简记为lnN．

设计意图：让对数概念的给出遵循从特殊到一般的认知规律，尽量让学生先给出一个定义，再逐步完善．本环节的关键是设置了4个子问题构成的问题串，通过多角度、多层面、立体式挖掘对数概念的内涵与外延，促使学生对于抽象概念有了具体、深刻、明确的认识，这是一个从一般到特殊的认知过程，为下个环节的数学应用做好铺垫．同时，教师调整教材内容呈现的顺序，为后续的概念应用拓展了研究空间．

（四）数学应用，理解概念．

例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．

11

（3）5a20

（4）()b0.45

272

（5）log51253

（6）log132

（7）lga1.699

（8）ln102.303

（1）2416

（2）333设计意图：例1的功能就是从概念出发解决问题，解题就是针对概念的理解与应用．

例2 求值：log927．

变式题：求值（1）log51

；（2）log11

；（3）lg1；（4）log55

；（5）log131；（6）lne．

33归纳总结：①

loga10，即1的对数是0，为什么呢？

②

logaa1，即底数的对数是1．为什么呢？

③

在logaNb中，字母a,b,N的取值范围分别是什么？

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设计意图：例2的功能是运用对数的概念解决简单类型的对数求值问题，调整教材中例3的内容，目的是突出了求解对数值的一般性步骤：一设（建立对数式）；二化（化对数式为指数式，化生为熟）；三解（解指数方程）；四答（回代作答）．变式题，通过两组特殊对数值的求解，归纳概括出对数的2条性质，进而比较自然地研究了对数式logaNb中，字母a,b,N的取值范围．

（五）回顾反思，升华概念．

1．通过本节课的学习，谈谈您的收获与感受？

2．根据对数的概念，要解决本节课的起始问题，就只要计算xlog0.840.5的值；那么怎样计算log0.840.5的值呢？请你带着这个问题，预习下一节内容——对数的运算性质．

设计意图：问题1是一个开放性问题，学生可以谈所学习的知识，也可以提炼解题中所运用的数学思想方法，还可以谈对于数学的感受与体验．问题2是封闭性问题，指向明确，提出一个本节课悬而未解的问题，让学生带着更新的问题离开课堂．

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