探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系公开课教学设计模版

互为反函数的函数的性质

教材：反函数（1）

目的：要求学生掌握反函数的概念，会求一些简单函数的反函数。

过程：

一、复习：映射、一一映射及函数的近代定义。[来源学科网ZXXK]

二、反函数的引入及其定义：

1．映射的例子：①这个映射所决定的函数是：

y = 3x 

1

②这个映射是有方向的：f:：A

B

( f：x

y = 3x

 1) ③如果把方向“倒过来”呢？

（写成）

f 1：

A

B

( f 1：y

xy13)

④观察一下函数

y = 3x 

1与函数

xy13

的联系

我们发现：它们之间自变量与函数对调了；定义域与值域也对调了，后者的解析是前者解析中解出来的（x）。

2．得出结论：函数

xy13

称作函数

y = 3x 

1的反函数。

定义：P66 （略）

注意：（再反复强调）：①用

y表示

x

,

x = 

(y) ②满足函数的（近代）定义[来源学科网ZXXK]

③自变量与函数对调

④定义域与值域对调

⑤写法：x = f 1(y)

考虑到“用

y表示自变量

x的函数”的习惯，将

x = f 1(y) 写成

y = f 1(x)

如上例

f

1：yx13

3．几个必须清楚的问题：

1

如果

y = f (x) 有反函数

y = f 1(x)，那么

y = f 1(x) 的反函数是

y = f (x)，它们互为反函数。

2

并不是所有的函数都有反函数。如

y = x2（可作映射说明）

因此，只有决定函数的映射是一一映射，这个函数才有反函数。

3

两个函数互为反函数，必须：原函数的定义域是它的反函数的值域

原函数的值域是它的反函数的定义域

如：xy2(yZ)不是函数

y = 2 x ( x



Z ) 的反函数。

4

指导阅读课本，包括“举例”“定义”“说明”“表格”以加深印象。

三、求反函数：

1．例题：（见P66—67

例一）

注意：1

强调：求反函数前先判断一下决定这个函数的映射是否是一一

映射。

2

求出反函数后习惯上必须将

x、y

对调，写成习惯形式。

3

求出反函数后必须写出这个函数的定义域——原函数的值域。

2．小结：求函数反函数的步骤：

1判析

2反解

3互换

4写出定义域

3．补充例题：

1

求函数

y11x2

（1≤

x < 0）的反函数。[来源学科网]

解：∵

1≤

x < 0

∴0 < x2

≤

1

∴0≤1



x2 < 1

∴

0

≤1x2< 1

∴0 < y

≤

1 由：y11x2

解得：x2yy2

(∵

1≤

x < 0 )

∴y11x2(1≤

x < 0)的反函数是：y2xx2( 0 < x

≤1 )

x21(0x1)

2

求函数

y2的反函数。

x(1x0)解：①当

0≤

x

≤1时，

1 ≤

x21 ≤

0

即

0 ≤

y

≤

1

由

y = x21

(0≤

x

≤1)

解得

xy1

(1≤

y

≤

0)

∴

f 1(x) = x1

(1≤

x

≤

0)

②当

1≤

x < 0时，

0 < x2

≤

1

即

0 < y

≤

1[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]

由

y = x2

(1≤

x < 0)

解得

xy

(0 < y

≤

1)

∴

f 1(x) = x

(0 < x

≤

1) x1(1x0)∴所求反函数为：y

(0x1)x四、小结：反函数的定义、求法、注意点。

五、作业：课本

P66练习

1

P66—69 习题2.4

1、2 《课课练》

P61“例题推荐”1、2

P62

7、8