习题1.2优质课一等奖

1.2 函数及其表示习题课

1．函数的概念

a．利用函数的概念进行函数的判断

(1)(2015浙江，5分)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有(

D

) A．f(sin2x)＝sinx

B．f(sin2x)＝x2＋x

C．f(x2＋1)＝|x＋1|

D．f(x2＋2x)＝|x＋1|

解析：A.取x＝0，则sin2x＝0，

π∴f(0)＝0；取x＝，则sin2x＝0，

2∴f(0)＝1，∴f(0)有两个值，不符合函数的定义，

∴该选项错误；

B．取x＝0，则f(0)＝0；取x＝π，则f(0)＝π2＋π，

∴f(0)有两个值，不符合函数的定义，∴该选项错误；

C．取x＝1，则f(2)＝2；取x＝－1，则f(2)＝0，

∴f(2)有两个值，不符合函数的定义，∴该选项错误；

D．令x＋1＝t，则f(x2＋2x)＝|x＋1|可化为f(t2－1)＝|t|，再令t2－1＝x，则t＝±x＋1，

∴f(x)＝x＋1，即存在函数f(x)＝x＋1满足对任意x∈R，都有f(x2＋2x)＝|x＋1|，∴该选项正确．

(2)(2018山东济宁一中月考，5分)下列图形中表示函数图像的是(

C

)

解析：A，B，D选项中都存在一个x有两个y值与之对应，故不满足函数的概念，C选项满足对于每一个确定的x值都有唯一一个y值与之对应，满足函数的定义．

b．同一函数的判断方法

(3)(2019汇编，5分)下列各组函数中，表示相同函数的是__③④__. ①

y＝x与y＝x2；

x2②

y＝x与y＝；

x③

y＝x2与s＝t2；

（x－1）（x－2）④

f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)，x∈{1，2}与g(x)＝，x∈{1，2}．

x－3解析：两个函数是同一函数的条件是函数的定义域、对应关系、值域都相同．

①不是相同函数：∵y＝x与y＝x2的对应关系不同，∴不是相同函数；

29

x2②不是相同函数：∵y＝x的定义域为R，y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴不x是相同函数；

③是相同函数：∵y＝x2与s＝t2的定义域都为R，值域都为[0，＋∞)，对应关系也相同，∴是相同函数；

（x－1）（x－2）④是相同函数：∵f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)，x∈{1，2}和g(x)＝，x∈{1，x－32}的定义域都是{1，2}，且对应的函数值都为0，∴值域都为{0}，对应关系相同，∴是相同函数．

2．函数的定义域及其求法

a．已知函数解析式求函数的定义域

(4)(2019汇编，12分)求下列函数的定义域：

①函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域为__(－∞，－3)∪(1，＋∞)__；

10，1∪(2，＋∞)__；

②函数f(x)＝

的定义域为__2（log2x）2－1πkπ，＋kπ(k∈Z)__；

③函数f(x)＝tanx

的定义域为__2x－10的定义域为__(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)__．

④函数f(x)＝x－1解析：①由题意可得x2＋2x－3>0，即(x－1)(x＋3)>0，解得x>1或x<－3，∴定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．

x>0，②由题意可得

2（log2x）－1>0，x>0，1即解得02，

2log2x>1或log2x<－1，210，∪(2，＋∞)．

∴定义域为2tanx≥0，③由题意可得π

x≠＋kπ（k∈Z），2π解得kπ≤x<＋kπ(k∈Z)，

2πkπ，＋kπ(k∈Z)．

∴定义域为2x－1≠0，x≠1，2④由题意可得x－1即2

x－1≠0，≠0，x－1解得x≠±1，

∴定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)．

b．求解抽象函数的定义域

30

(5)(2019汇编，6分)①已知函数f(2x＋1)的定义域为[1，2]，则函数f(x)的定义域为__[3，5]__；

x4②已知函数f(x)的定义域为(－∞，1]，则f2＋fx的定义域为__(－∞，0)__．

解析：①∵f(2x＋1)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，

∴3≤2x＋1≤5，∴f(x)的定义域为[3，5]．

2≤1，②∵f(x)的定义域为(－∞，1]，∴

4x≤1，x4解得x<0，∴f2＋fx的定义域为(－∞，0)．

c．已知函数的定义域，求参数的取值范围

kx＋730，(6)(经典题，5分)已知函数y＝2的定义域为R，则实数k的取值范围为__4kx＋4kx＋3__．

kx＋7解析：由函数y＝2的定义域为R可知kx2＋4kx＋3≠0对一切x∈R恒成立．当kx＋4kx＋3k＝0时，不等式显然成立；当k≠0时，设g(x)＝kx2＋4kx＋3，则有Δ＝16k2－12k<0，解得330，. 0

3．求函数解析式的若干方法

(7)(2019汇编，15分)完成下列问题：

22＋1＝lgx，则f(x)的解析式为__f(x)＝lg①已知f

(x>1)__；

xx－111x＋＝x2＋2，则f(x)的解析式为__f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)__；

②已知f

xx1③已知f(x)为一次函数，f(f(x))＝4x－1，则f(x)的解析式为__f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1__；

31121④已知函数f(x)满足f

＋f(－x)＝2x(x≠0)，则f(x)的解析式为__f(x)＝x＋(x≠0)__；

xxx⑤已知对于任意实数x，y，等式f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)恒成立．若f(0)＝1，则f(x)的解析式为__f(x)＝x2＋x＋1__．

2222＋1＝lgx，得f(t)＝lg解析：①令＋1＝t，∵x>0，∴t>1，∴x＝，代入f.∴f(x)xxt－1t－12的解析式为f(x)＝lg(x>1)．

x－111111x＋＝x2＋2＝x2＋2＋2－2＝x＋2－2，设t＝x＋，根据对勾函数的性质可知②fxxxxxt≥2或t≤－2，∴f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．

③∵f(x)为一次函数，∴设f(x)＝kx＋b(k≠0)，

∴f(f(x))＝kf(x)＋b＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－1，

31

x

2k＝4，k＝－2，∴解得

1或kb＋b＝－1，b＝1，b＝－k＝2，31∴f(x)的解析式为f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1. 311④∵f(x)对任意x≠0满足fx＋xf(－x)＝2x，

112∴令＝－x，代入方程得f(－x)－xf＝－，

xxx11联立，得解得fx＝x＋x，

12f（－x）－xfx＝－x，211fx＋xf（－x）＝2x，1∴f(x)＝x2＋(x≠0)．

x⑤(法一)∵对于任意实数x，y，等式f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)恒成立，且f(0)＝1，∴不妨令x＝0，则有f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y(y－1)＝y2－y＋1. 再令－y

＝x，得函数解析式为f(x)＝x 2＋x＋1. (法二)∵对于任意实数x，y，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)恒成立，且f(0)＝1，

不妨令x－y＝0，则x＝y, f(0)＝f(x)－x(x＋1)＝1，

则f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1. 4．分段函数的概念和简单应用

a．已知分段函数的解析式，求函数值

1＋log2（2－x），x<1，(8)(2018河北邯郸期末，5分)设函数f(x)＝x－1则f(－2)＋f(log212)2，x≥1，＝(

C

) A．3

B．6

C．9

D．12 1＋log2（2－x），x<1，解析：∵函数f(x)＝x－1

2，x≥1，∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3,

11f(log212)＝2log212-1＝2log212×＝12×＝6，

22∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9. b．已知分段函数的解析式，求解不等式

x＋1，x≤0，1x－>1的x的取值范(9)(2017全国Ⅲ，5分)设函数f(x)＝x则满足f(x)＋f

22，x>0，1－，＋∞__．

围是__411111x－>1等价于x＋1＋x－＋1>1，解析：若x≤0，则x－≤－，则f(x)＋f即2x>－，2222232

11则x>－，此时－

4411x11x－若x>，则x－>0，则f(x)＋fx－2＝2＋22>1恒成立；

2211111x－＝2x＋

x－＋1>1，即2x＋

x>. 若0

x>恒成立．

221－，＋∞. 综上，x的取值范围是4c．应用分段函数的图像与性质，求解参数的值或范围

3x－b，x<1，5＝4，则b＝(

D

) (10)(2015山东，5分)设函数f(x)＝x若f

f

62，x≥1，7A．1

B. 8

3C.

41

D.

23x－b，x<1，解析：∵函数f(x)＝x

2，x≥1，555∴f

＝3×－b＝－b. 66253若－b≥1，即b≤，

225＝f

5－b＝2

－b＝4，解得b＝1；

可得f

f

6222553若－b＜1，即b>，

225＝f

5－b＝35－b－b＝4，

可得f

f

622731解得b＝＜(舍去)．综上，b＝. 822

－x＋6，x≤2，(11)(2018河北期末，4分)若函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋3＋logx，x>2a∞)，则实数a的取值范围是__(1，2]__．

－x＋6，x≤2，解析：由题意，当x≤2时，

f(x)＝6－x≥4，∴要使函数f(x)＝(a>0，3＋logax，x>2且a≠1)的值域是[4，＋∞)，需满足当x>2时，

f(x)＝3＋logax≥4，∴loga2≥1，且a>1，即loga2≥logaa(a>1)恒成立，解不等式，得1

随堂普查练4 1．(经典题，5分)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出如下四个图像，其中33

能表示从集合M到集合N的函数关系的是(

D

)

A

B C

D 解析：若从集合M到集合N能构成函数关系，则对于集合M＝{x|0≤x≤2}中的任意x在集合N＝{y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应．图像A不满足条件，因为当1＜x≤2时，N中没有y值与之对应；图像B不满足条件，因为当x＝2时，N中没有y值与之对应；图像C不满足条件，因为当0＜x≤2时，在集合N中有2个y值与之对应，不满足函数的定义；D中的图像满足对于集合M＝{x|0≤x≤2}中的每一个x值，在N＝{y|0≤y≤2}中都有唯一一个y值与之对应．

2．(2018太原模拟，5分)有下列四组函数：

3①f(x)＝x2，g(x)＝x；

1，x≥0，②f(x)＝，g(x)＝

x－1，x<0；|x|③f(x)＝2n＋1x2n1(n∈N*)，g(x)＝(＋2n＋1x)2n1(n∈N*)；

＋④f(x)＝x·x＋1，g(x)＝x2＋x. 其中表示同一个函数的是(

C

) A．①

B．②

C．③

D．④

3解析：①不是同一个函数：

f(x)＝x2，g(x)＝x，函数f(x)，g(x)的对应关系不相同，∴不是同一个函数；

|x|②不是同一个函数：∵f(x)＝的定义域为{x|x≠0，x∈R}，g(x)的定义域为R，函数的x定义域不相同，∴f(x)，g(x)不是同一个函数；

③是同一个函数：∵f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R, f(x)＝g(x)＝x，是同一个函数；

④不是同一个函数：f(x)＝x·x＋1的定义域为[0，＋∞)，g(x)＝x2＋x的定义域为

(－∞，－1]∪[0，＋∞)，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数．故选C.

3．(2018山东期末，5分)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(

B

) 34

11－1，－

C．(－1，0)

D.，1

A．(－1，1)

B.221解析：∵函数f(x)的定义域为(－1，0)，∴－1＜2x＋1＜0，解得－1＜x＜－，∴函数

21－1，－. f(2x＋1)的定义域为2

4．(2018江苏，5分)函数f(x)＝log2x－1的定义域为__[2，＋∞)__．

log2x－1≥0，解析：由题意得解得x≥2，则函数f(x)＝log2x－1的定义域为[2，＋∞)．

x>0，

2x1－x＝1－x，5．(2018沈阳期末，5分)已知f(x≠－1)__．

2则f(x)的解析式为__f(x)＝1＋x21＋x1＋x21－t21－x1－t1＋t2t2x解析：令＝t，则x＝(t≠－1)，∴f(t)＝＝2(t≠－1)，∴f(x)＝1＋x1＋t1－t21＋t1＋x21＋1＋t1－(x≠－1)．

6．(经典题，5分)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝(

D

) A．x2－1(x≥0)

B．x2＋1(x≥0) C．x2＋1(x≥1)

D．x2－1(x≥1) 解析：已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x＋1)＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，令t＝x＋1(t≥1)，∴f(t)＝t2－1(t≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．

7．(2018黑龙江大庆期中，5分)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则f(x)的解析式是__f(x)＝x2－x＋1__．

解析：设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝1，∴c＝1. 又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，2a＝2，a＝1，∴解得故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1. a＋b＝0，b＝－1，

8．(2018广东一模，5分)已知f(x)的定义域为R，且f(x)＋2f(－x)＝x2－x，则f(x)的解析1式为__f(x)＝x2＋x__．

3解析：∵函数f(x)的定义域为R，f(x)＋2f(－x)＝x2－x①，∴f(－x)＋2f(x)＝x2＋x，即

12f(－x)＋4f(x)＝2x2＋2x②，②－①可得，3f(x)＝x2＋3x，即f(x)＝x2＋x. 3

9．(2018四川模拟，5分)设函数f：R→R，满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R，都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(x)＝__x＋1__. 35

解析：令x＝0，得f(1)＝f(0)f(y)－f(y)－0＋2，又f(0)＝1，∴f(1)＝2①. 令y＝0，得f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，即f(1)＝f(x)－x＋1②. ①－②，整理得f(x)＝x＋1.

x（x＋1），x≥1，10．(2018安徽颍上月考，5分)已知函数f(x)＝则f(f(－1))的值为x（x－1），x<1，(

A

) A．6

B．0

C．－1

D．－6 解析：根据题意得f(－1)＝－1×(－1－1)＝2，则f(f(－1))＝f(2)＝2×(2＋1)＝6，故选A.

11．(经典题，5分)设函数f(x)＝

则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是__(－

∞，8]__．



x<1，解析：由f(x)≤2，得x－1或

解得x<1或1≤x≤8，∴x的取值范围是(－∞，e≤2

8]．

x，0＜x＜1，112．(2017山东，5分)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f

a＝(

C

) 2（x－1），x≥1，A．2

B．4

C．6

D．8 解析：当a∈(0，1)时，a＋1∈(1，2), f(a)＝a，

f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.∵f(a)＝f(a＋111)，∴a＝2a，解得a＝，则f

a＝f(4)＝2×(4－1)＝6.当a∈[1，＋∞)时，

f(a)＝2(a－1), 41f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.∵f(a)＝f(a＋1)，∴2(a－1)＝2a，显然无解．综上，

f

a＝6.

x2＋x，x<0，13．(经典题，5分)设函数f(x)＝2若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是__(－－x，x≥0，∞，2]__．

2x＋x，x<0，解析：画出函数f(x)＝2的图像如图所示．

－x，x≥0

36

设f(a)＝t，则不等式为f(t)≤2，由图像知t≥－2，即f(a)≥－2.由图像知f(a)＝－2时，a>0，则－a2＝－2，a＝2，由图像可知当a≤2时，

f(a)≥－2，则实数a的取值范围是

(－∞，2]．

14．(经典题，5分)如图4－7所示，函数y＝f(x)的图像由两条射线和三条线段组成．

图4－7 10，__．

若∀x∈R, f(x)>f(x－1)，则正实数a的取值范围为__6解析：由已知可得a>0，且已知f(x)的图像，则将f(x)的图像右移1个单位可以得到

f(x－1)的图像，如图所示．

要使∀x∈R, f(x)>f(x－1)，则需要满足f(x)的图像在f(x－1)的图像的上方，∴由图像可知110，. 1>6a且a>0，即0

课后提分练4

函数及其表示

A组(巩固提升)

1．(经典题，5分)以下从M到N的对应关系表示函数的是(

B

) A．M＝R，N＝{y|y＞0}, f：x→y＝|x| B．M＝{x|x≥2，x∈N*}, N＝{y|y≥0, y∈N*}，f：x→y＝x2－2x＋2 C．M＝{x|x＞0}，N＝R, f：x→y＝±x

1D．M＝R，N＝R, f：x→y＝

x解析：A选项，M＝R，N＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|，M中元素0在N中无对应的元素，不满足函数的定义；

B选项，M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2－2x＋2，M中任一元素，在N中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义；

C选项，M＝{x|x>0}，N＝R，f：x→y＝±x，M中任一元素，在N中都有两个对应的元素，不满足函数的定义；

1D选项，M＝R，N＝R，f：x→y＝，M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数x的定义．

2．(2018山东济宁一中月考，5分)下列各组函数中，表示同一函数的是(

D

) x2－4A．f(x)＝e，g(x)＝x

B．f(x)＝，g(x)＝x－2 x＋2lnx37

sin2xC．f(x)＝，g(x)＝sinx

D．f(x)＝|x|，g(x)＝x2

2cosx解析：A中，

f(x)＝x(x>0)，g(x)＝x(x∈R)，函数的定义域不同，不是同一函数；

B中，

f(x)＝x－2(x≠－2)，g(x)＝x－2(x∈R)，函数的定义域不同，不是同一函数；

πx≠＋kπ，k∈Z，g(x)＝sinx(x∈R)，函数的定义域不同，不是同一函C中，

f(x)＝sinx2数；

D中，

f(x)＝g(x)＝|x|，是同一函数．故选D.

13．(2018北京西城一模，5分)函数f(x)＝的定义域是__{x|x>0且x≠1}__．

lnxx>0，解析：由题意得解得x>0且x≠1.故函数的定义域为{x|x>0且x≠1}．

lnx≠0，

4．(经典题，5分)函数y＝f(x－1)的定义域是(－1，3)，则函数y＝f(2x＋1)的定义域为(

B

) 31－，

C．(0，4)

D．(0，9) A．(－1，7)

B.22解析：函数y＝f(x－1)的定义域是(－1，3)，即－1＜x＜3，可得－2＜x－1＜2，即函数y31＝f(x)的定义域为(－2，2)，则－2＜2x＋1＜2，可得－＜x＜，即函数y＝f(2x＋1)的定义域2231－，. 是22

5．(2018杭州模拟，4分)若函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是(

D

) A．[0，4)

B．(0，4)

C．[4，＋∞)

D．[0，4] 解析：由题意可得mx2＋mx＋1≥0对一切实数x恒成立．当m＝0时，1≥0恒成立；当m>0，m≠0时，有解得0＜m≤4.综上，实数m的取值范围是[0，4]．

2Δ＝m－4m≤0，

1，x>0，6．(2015湖北，5分)设x∈R，定义符号函数sgnx＝0，x＝0，则(

D

) －1，x<0，A．|x|＝x|sgnx|

B．|x|＝xsgn|x|

C．|x|＝|x|sgnx

D．|x|＝xsgnx

x，x≥0，解析：对于选项A，右边＝x|sgnx|＝x，而左边＝|x|＝显然不正确；

－x，x＜0，x，x≥0，对于选项B，右边＝xsgn|x|＝x，而左边＝|x|＝显然不正确；

－x，x＜0，38

x，x≥0，对于选项C，右边＝|x|sgnx＝x，而左边＝|x|＝显然不正确；

－x，x＜0，x，x>0，x，x≥0，0，x＝0，对于选项D，右边＝xsgnx＝而左边＝|x|＝显然正确．

－x，x＜0，－x，x＜0，

1－x27．(经典题，5分)已知函数g(x)＝1－2x, f (g(x))＝2(x≠0)，则f(0)等于(

D

) x33A．－3

B．－

C.

D．3 221231－11＝2＝4＝3. 解析：令g(x)＝1－2x＝0，则x＝，所以f(0)＝fg2211242

8．(2018南京模拟，5分)已知f(sinx)＝cos2x，则f(x)的解析式为__f(x)＝1－2x2，x∈[－1，1]__．

解析：

f(sinx)＝cos2x＝1－2sin2x，设sinx＝t，t∈[－1，1]，∴f(t)＝1－2t2，t∈[－1，1]，∴f(x)＝1－2x2，x∈[－1，1]．

1，x>0，1，x为有理数，0，x＝0，9．(经典题，5分)设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为(

B

) 0，x为无理数，－1，x<0，A．1

B．0

C．－1

D．π

解析：∵π为无理数，∴g(π)＝0，∴f(g(π))＝f(0)＝0.

x13，x≤0，10．(经典题，5分)定义在R上的f(x)满足f(x)＝则f(2018)f（x－1）－f（x－2），x>0，－1＝__－__．

9解析：当x>1时，

f(x)＝f(x－1)－f(x－2)＝f(x－2)－f(x－3)－f(x－2)＝－f(x－3)，

∴当x>1时，

f(x)＝－f(x－3)，

∴当x－3>1，即x>4时，

f(x－3)＝－f(x－6)，

∴当x>4时，

f(x)＝f(x－6)，

1－故f(2018)＝f(6×336＋2)＝f(2)＝f(1)－f(0)＝f(0)－f(－1)－f(0)＝－f(－1)＝－32＝－. 9

11．(2018重庆期中，5分)已知函数f(x)＝

39

则不等式f(x)≤0的解集为

，

，

__{x|x≥1或x＝0或x≤－2}__．

或解析：∵函数f(x)＝

∴不等式f(x)≤0等价于

，

，

－x2－2x≤0，解得x≥1或x＝0或x≤－2，故不等式的解集为{x|x≥1或x＝0或x≤－2}．

x≤0，

2x＋a，x<1，12．(2018武汉模拟，5分)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋－x－2a，x≥1.3a)，则a的值为__－__．

43解析：当a>0时，1－a＜1，1＋a>1，∴2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－(舍去)；

23当a＜0时，1－a>1，1＋a＜1，∴－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－. 43综上，a的值为－. 4

3x－1，x<1，13．(2015山东，5分)设函数f(x)＝x则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是2，x≥1，(

C

) 22，1

B．[0，1]

C.，＋∞

D．[1，＋∞) A.33解析：令f(a)＝t，则f(t)＝2t，当t<1时，f(t)＝3t－1，设g(t)＝3t－1－2t，t<1，则g′(t)＝3－2tln2>0. 所以g(t)在t<1时单调递增，所以g(t)

所以当t<1时3t－1<2t，即方程f(t)＝2t无解；

当t≥1时，

f(t)＝2t，等式恒成立，所以f(a)≥1. 22当a<1时，

f(a)＝3a－1，则3a－1≥1，解得a≥，所以≤a<1；

33当a≥1时，f(a)＝2a，则2a≥1，解得a≥0，所以a≥1. 2，＋∞. 综上所述，a的取值范围为3

x2，x≥0，14．(2018四川月考，8分)已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝求f

(g(x))和g(f(x))－1，x<0，的解析式．

22x－1，x≥0，答案：

f (g(x))＝

－3，x＜0，40

g(f(x))＝1－1，x＜21（2x－1）2，x≥，2

解：当x≥0时，g(x)＝x2, f(g(x))＝2x2－1；(2分) 当x＜0时，g(x)＝－1, f(g(x))＝－2－1＝－3，

22x－1，x≥0，∴f(g(x))＝(4分) －3，x＜0.1当2x－1≥0，即x≥时，g(f(x))＝(2x－1)2；(6分) 21当2x－1＜0，即x＜时，g(f(x))＝－1，

2（2x－1），x≥2，∴g(f(x))＝(8分) 1－1，x＜2.21

B组(冲刺满分)

15．(2018广东二模，5分)某学校为了提高学生综合素质，树立社会主义荣辱观，发展创新能力和实践能力，促进学生健康成长，开展评选“校园之星”活动．规定各班每10人推选一名候选人，当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人，那么各班可推选候选人人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(

B

) xx＋2

C．y＝x＋3

D．y＝x＋4

A．y＝

B．y＝10101010解析：由题意，根据规定每10人推选一名候选人，当各班人数除以10的余数大于7时再增加一名候选人，即余数分别为8，9时可增加一名候选人，其他情况时不可增加，因此利用取整函数可表示为y＝x＋210.

16．(2018江西月考，5分)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，

1f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，

f(x)＝__－x(x＋1)__．

2解析：当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，由题意f(x＋1)＝2f(x)，当0≤x≤1时，

f(x)＝x(1111－x)，∴f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．

222

217．(经典题，5分)若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则f(x)＝__2x＋__．

5解析：∵3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x＝2(x－1)＋2，①

用1－x代换

x－1，得3f(1－x)＋2f(x－1)＝2(1－x)＋2，②

22①×3－②×2，得5f(x－1)＝10(x－1)＋2，∴f(x－1)＝2(x－1)＋，∴f(x)＝2x＋.

5541

42