习题2.1ppt课件教学实录

《指数函数及其性质》教学设计

湖南省保靖县雅丽中学数学组

徐立新

一、教材分析

（一）教材背景

本节课选自人教版必修一第二章第一节第二课时.指数函数是在学习了函数的定义及其图像、性质，掌握了研究函数的一般思路之后，学习的第一个重要的基本初等函数.

（二）本课的地位和作用

在讲授本节课前，学生已经研究了基本的函数概念及性质及二次函数、反比例函数及特殊的幂函数等，从方法上讲学生已经清楚了如何借助于图象研究性质，基本能够按类比迁移的方式来研究指数函数的性质，这也为本节课学生的自主探究提供了可能；与此同时，指数函数也是后面学习对数函数、三角函数的基础，因此这段内容在教材中起着重要的承上启下作用。

（三）重难点分析

重点：本节课是围绕指数函数的概念和图象，并依据图象特征归纳其性质展开的。因此本节课的教学重点是掌握指数函数的图象和性质。

难点： 1、对于底数用

a >1 和0< a <1 时函数图象的不同特征，学生不容易归纳认识清楚。因此，弄清楚底数A对函数图象的影响是本节的难点之一。

2、底数互为倒数的两个函数图象间的关系。

二、教学目标

知识与技能：

1、理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；

2、掌握函数的基本性质，能利用函数的单调性解决问题。

过程与方法：

1、学会采用类比研究的方法探讨指数函数问题的数学思维方法，提高合情猜想能力；

2、在数学实验平台上，经历列表描点、绘制具体函数图象、图象的动态变换三个步骤体验指数函数的图象特征，并归纳函数性质。

情感价值观：培养学生主动探求知识、合作交流的意识，在学生的亲身操作中，感受数学的力量，坚定数学学习信念。

三、学情分析

认知分析: 指数函数及其性质

能力分析: 在学生刚刚学习了函数的定义、图象、性质，已经掌握了研究函数的一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助。学习过程中难免会出现困难.本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。

情感分析: 学有兴趣，但在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.

四、教法学法

（一）教法：

1．教学方法的选择：

本节课运用“问题探究——合作交流——实践体验”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方法。通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。

2．教学手段的利用：

本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解。

（二）学法：

直观感受——理解领悟——深化认识

通过观察、讨论、分析、探索等步骤，自己发现问题，分析问题，解决问题，一方面渗透数形结合思想，另一方面，通过“师生互动，生生互动”，提高学生的合作意识，共同来完成教学目标。

五、教学过程

引入课题→形成概念→归纳抽象→知识扩展→课堂练习→课堂小结

一. 创设问题情景

问题1: A种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗? 问题2: 有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,……剪了x次后绳子剩余的长度为y米,试写出x与y之间的函数关系. 学生思考后得出答案：（1）y与x之间的关系式,可以表示为；y=2x;（2) y=(1/2)x . 从以上两个实例中，我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,在形式上都是幂的形式,且自变量均在指数的位置上,我们把形如这样的函数称为指数函数. 二．新授课

1. 指数函数的概念

形如y= a x (a >0且a不等于1)的函数称为指数函数. 教师在给出定义之后再对定义作几点说明.

(1)

底数a的规定: 规定a >0且a不等于1.

提出问题：为什么要规定底数大于0且不等于1呢？（引导学生积极探讨）

若学生感到有困难,可将问题分解为若a <0会有什么问题？如a = -2，此时x=1/2,x=1/4,等在实数范围内相应的函数值不存在。若a =1则无论x取何值, a x它总是1,对它没有研究的必要。为了避免上述各种情况的发生，所以规定a >0且a不等于1。

(2)指数函数的定义域：R

(3)关于是否是指数函数的判断

请判断下面函数是否是指数函数？

（1）y2x2

（2）y(2)

（3）y2

22xx（4）y

（5）yx

（6）y4x

xx（7）yx

（8）y(a1)

（a＞1，且a2）

x

学生回答并说明理由,教师根据情况作点评,指出只有(4)和(8)是指数函数,

作出函数y=2x的图象并观察其性质。

定义域 : R

值域: y>0

奇偶性 :既不是奇函数也不是偶函数

截距:在x轴上没有,在y轴上为1.

在此基础上,教师可指导学生列表,描点,.取点时还要提醒学生由于不具备对称性,故x的值应有正有负,且由于单调性不清,所取点的个数不能太少.

教师可利用计算机列表描点,给出十组数据,而学生自己列表描点,至少六组数据.连点成线时,一定提醒学生图象的变化趋势(当x越小,图象越靠近x轴,x越大,图象上升的越快),并连出光滑曲线.

当画完第一个图象之后,可问学生是否需要再画第二个函数图象?它是否具有代表性?(教师可提示底数a的条件是a >0且a不等于1。取值可分为两段)让学生明白需再画第二个函数图象.

不妨取y=(1/2)x为例.

此时画它的图象的方法应让学生来选择,应让学生意识到列表描点不是唯一的方法,而图象变换的方法更为简单.即y=(1/2)x=2-x与y=2x图象之间关于x轴对称,而此时y=2x的图象已经有了,具备了变换的条件.让学生自己做对称,教师借助计算机画图,在同一坐标系下得到y=(1/2)x的图象.

教师可利用计算机再画出如a =3, a =1/3, a =5, a =1/5的图象一起比较,再找共性。

利用电脑软件画出yx5,y3,y(),y()的函数图象. xx1xy

y5

5813x15x1y

3-10-5x6y3x

420 -2-4510-6

-8

引导学生探究底数互为倒数的两个函数图象间的关系。

２．指数函数性质

根据指数函数的图象特征，由特殊到一般的推理方法提炼指数函数的性质，完成下表：

a >1

0< a <1

图

象

性

(1)定义域：R

(2)值

域：(0，+∞)

(3)过点(0,1)，即x=0时，y=1

(4)在R上是减函数

质

(4)在R上是增函数

应严格证明，但教材不做要求）

（说明：教材对于指数函数性质的处理，仅是观察图象发现的，其正确性理总结之后,特别提醒学生记住函数的图象,有了图,从图中就可以能读出性质.

三.简单应用

例1：已知指数函数f(x)a（a＞0且a≠1）的图象过点（3，π），求xf(0),f(1),f(3)的值.

分析：要求f(0),f(1),f(3)的值,只需求出a,得出f(x)=(),再把0，1，3分别代入x，即可求得f(0),f(1),f(3).

13x

例2. 比较下列各组数的大小

(1)1.3-2.7与1.3-2.5; (2)0.994/3与0.993/2; (3)3.140.7与1 .

首先让学生观察两个数的特点,有什么相同?由学生指出它们底数相同,指数不同.再追问根据这个特点,用什么方法来比较它们的大小呢?让学生联想指数函数,提出构造函数的方法,即把这两个数看作a个函数的函数值,利用它的单调性比较大小.然后以第(1)题为例,给出解答过程.

解: 因为y=1.3x在R上是增函数,且-2.7<-2.5

所以1.3-2.7<1.3-2.5

引导学生总结比较大小的步骤：

(1) 构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性.

(2) 自变量的大小比较.

(3) 函数值的大小比较.

后两个题要求学生仿照第(1)题叙述过程.

例3.比较下列各组数的大小

(1)(1/4)0.8与(1/2)1.8; (2)(8/7)-3/7与(7/8)5/12;

(3)1.080.3与0.983.1.

引导学生观察例2中各组数与例1中的区别,发现对(1)来说(1/4)0.8可以写成(1/2)1.6这样就可以转化成同底的问题,再用例1的方法解决；对(2)来说(8/7)-3/7可以写成7/83/7,也可转化成同底的；而(3)前面的方法就不适用了,考虑新的转化方法,由学生思考解决.(教师可提示学生指数函数的函数值与1有关,可以用1来起桥梁作用)

最后得出1.080.3>1,0.983.1<1,

所以 1.080.3>0.983.1.

比较大小的方法:

(1) 构造函数的方法: 数的特征是同底不同指(包括可转化为同底的)

(2) 搭桥比较法: 用特殊的数1或0.

四．巩固练习

比较下列各组数的大小

(1)(0.4)-1/2与(0.4)-3/2

;

(2)(1/2)-18/5与8-4/5 ;

(3)(1/5)-1/5与(9/7)-7/9;

( 4)1.73.1与0.93.

五.课堂小结

理解指数函数的概念。掌握指数函数的图象和性质，并能用指数函数的单调性比较大小。方法：

(1) 构造函数法: 数的特征是同底不同指(包括可转化为同底的)

(2) 搭桥比较法: 用特殊的数1或0.

六．探究活动

1．对于f(x)=1.1x的图象和g(x)=x的图象大家都比较熟悉也能画出它的图象,现在如果将f(x)和g(x)的图象画在同一坐标系中,你认为它们会有几个交点呢?为什么?

答案：有两个交点.

2． A先生从今天开始每天给你10万元,而你承担如下任务:第一天给A先生1元,第二天给A先生2元,,第三天给A先生4元,第四天给A先生8元,依次下去,…,A先生要和你签定15天的合同,你同意吗?又A先生要和你签定30天的合同,你能签这个合同吗?

答案：15天的合同可以签,而30 天的合同不能签.

七．课后作业

习题2.1A组第5，6题

八、教学反思

1、本课就新课程理念下函数教学课的课堂模式，做了一些探索。以问题解决为中心，通过提出问题，完善问题，解决问题，拓展问题，采用探究、自主学习的研究性学习方式，重点放在函数图象的形成与性质的探究应用上，努力挖掘函数教学中蕴涵的思维价值，培养学生的思辨能力。改变了函数教学中简陋的处理方式（简单直接呈现、照本宣科罗列，大剂量的“复制例题”式的应用练习）。

2、“用教材教，而不是教教材”，尽管教材中对本课知识方法的要求并不太高，只介绍了通过作函数y2x及y=(1/2)x的图象得出指数函数性质的归纳方法，但教学不仅是忠实执行课程标准，而且是师生共同开发课程，将教材有机裁剪，并融入现代教学手段的过程。本课设计充分预设各种课堂生成，尽量满足不同思维层次学生的需求。

3、突出数学的本质和思想。本课设计既讲类比联想，又讲逻辑推理，既有函数又有数形结合的思想，让学生知其然，知其所以然。

4、来源于生活实际，又回到生活中，强调了数学应用意识。