小结教学设计一等奖

函数的单调性与奇偶性小结

1.单调函数的概念

观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律：

（1）函数的单调性定义

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数），区间D是该函数的增区间（减区间）

（2）判断函数单调性的方法步骤

1

任取x1,x2∈D，且x1x2○2

作差f(x1)－f(x2)；○3

变形（通常是因式分解和配方）；○4

定号（即判断○差f(x1)－f(x2)的正负）；○5

下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）

单调性的应用：求最值问题（值域）

复合函数的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

2.最大值与最小值

函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；

①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；

条件

②存在x0∈I，使得f(x0)＝M

②存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 结论

M为最大值

M为最小值

两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．

3.函数的奇偶性

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数

（2）奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

（4）利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

○2确定f(－x)与f(x)的关系；

○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

（5）函数的奇偶性与单调性的关系（图像理解）

偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；

奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．

4.典例剖析

【例1】

如果二次函数f（x）=x2－（a－1）x+5在区间（求f（2）的取值范围.

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1，1）上是增函数，

2

【例2】

讨论函数f（x）=

【例3】

求函数y=x+

ax（a＞0）在x∈（－1，1）上的单调性. x211的单调区间. x深化拓展

求函数y=x+a（a＞0）的单调区间. x

【例4】

定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）. （1）求证：f（0）=1；

（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；

（3）求证：f（x）是R上的增函数；

（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.

【例5】

已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则

A.f（0）＜f（－1）＜f（2）

B.f（－1）＜f（0）＜f（2）

C.f（－1）＜f（2）＜f（0）

D.f（2）＜f（－1）＜f（0）

【例6】

判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；

（2）f（x）=（x－1）·1x；

1xx(1x)1x2（3）f（x）=；

（4）f（x）=|x2|2x(1x)

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(x0),(x0).

【例7】函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）. （1）求f（1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性并证明；

（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x－6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围.

【例8】已知函数f（x）=x+p+m（p≠0）是奇函数. x（1）求m的值. （2）当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值.

【例9】已知函数f(x2)ax2(a3)x(a2)的图象过点(1，0)，设g(x)＝f (f(x))，F(x)＝p·g(x)＋q·f(x)(p、q∈R)．

(1)求a的值；

(2)求函数F(x)的解析式；

(3)是否存在实数p(p＞0)和q，使F(x)在区间(－∞，f(2))上是增函数且在(f(2)，0)上是减函数？请证明你的结论．

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