习题1.2教学设计及教案分析

函数的表示方法

【考点导读】

1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．

2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式．

【基础练习】

6x7

；g(f(x))__________6x4

．

1.设函数f(x)2x3，g(x)3x5，则f(g(x))_________2.设函数f(x)111，g(x)x22,则g(1)_____3_______；f[g(2)]；f[g(x)]2．

1xx373.已知函数f(x)是一次函数，且f(3)7，f(5)1,则f(1)__15___．

4|x1|2,|x|1,

1134.设f(x)＝1，则f[f()]＝_____________．

2, |x|11x233y|x1|

(0≤x≤2)

5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________．

22

x1(x1)．6.已知函数f(x1)x2x，则f(x)___________第5题

【范例解析】

211，求f(x)的解析式．

2x分析：可用换元法，配凑法求f(x)解析式．

11解法一：令1t(t1)，则x，代入得：f(t)(t1)21，

xt1即f(x)x22x(x1)．

例1.已知f(1)1x11x21x1x1x1x121(2)(1)2(1)，

解法二：f(1)2xxxxxxxx1又11，f(x)x22x(x1)．

x点评：解法一是换元法，已知f[g(x)]的解析式且g(x)存在反函数时，可用换元法．一般步骤为：（1）令g(x)t，并求出t的取值范围（即的g(x)值域）；（2）解出x(t)；（3）将g(x)t，x(t)同时代入函数f[g(x)]并化简；（4）以x代t且写出x的取值范围（即t的取值范围）．

例2.已知二次函数yf(x)的最小值等于4，且f(0)f(2)6，求f(x)的解析式．

分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．

c6,a2,2解法一：设f(x)axbxc(a0)，则4a2bc6,解得b4,

c6.4acb24.4a故所求的解析式为f(x)2x4x6．

解法二：2f(0)f(2)，抛物线yf(x)有对称轴x1．故可设f(x)a(x1)24(a0)．

将点(0,6)代入解得a2．故所求的解析式为f(x)2x24x6．

解法三：设F(x)f(x)6.，由f(0)f(2)6，知F(x)0有两个根0，2，

可设F(x)f(x)6a(x0)(x2)(a0)，f(x)a(x0)(x2)6，

将点(1,4)代入解得a2．故所求的解析式为f(x)2x24x6．

点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式．

例3.已知函数yx2x与yg(x)的图像关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式．

分析：利用对称性求函数的解析式．

解：设函数g(x)图像上任一点为M(x,y)，点M(x,y)关于点(2,3)的对称点为M(x,y)，

xx2,x4x,2得解得代入yx2x中，得6y(4x)2(4x).

y6y.yy3.2yx27x6，即g(x)x27x6.

点评：求与已知函数yf(x)的图像关于点，线对称的函数yg(x)解析式时，可用代入对称点的方法．

例4.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程（ykm）与时间（x分）的关系．试写出yf(x)的函数解析式．

y

4

3

2

1

O 10 20 30 40 50 60 x

例4

分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．

解：当x[0,30]时，直线方程为y11x，当x[40,60]时，直线方程为yx2，

1510115xx[0,30],f(x)2x(30,40),

1x[40,60].x210点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．

【反馈演练】

exexexex1．若f(x)，g(x)，则f(2x)（

D

）

22

Ａ．

2f(x)

Ｂ．2[f(x)g(x)]

Ｃ．2g(x)

Ｄ．

2[f(x)g(x)]

1

12．已知f(x1)2x3，且f(m)6，则m等于________4．

211

122008．

3.

设函数f1(x)x2，f2(x)x，f3(x)x，则f1(f2(f3(2008)))_________

221，

sin(x),1x04.

函数f(x)x1，若f(1)f(a)2，则a的所有可能值为_______________．

2,x0e11．

，若f15,则ff5_______

fx56．在R上定义运算:xyx(1y).若不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立，则实数a的取

5．函数fx对于任意实数x满足条件fx213

a

22值范围是____________________．

(,]

1,x0,则不等式7．已知f(x)．

x(x2)f(x2)≤5的解集是_________21,x0,38．已知a，b为常数，若f(x)x24x3，f(axb)x210x24，则5ab___2____．

9. 函数f(x)x,xP，其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定x,xMf(P){y|yf(x),xP}，f(M){y|yf(x),xM}，给出下列四个命题：

①若PM，则f(P)f(M)

②若PM，则f(P)f(M)

③若PMR，则f(P)f(M)R

④若PMR，则f(P)f(M)R

其中真命题的序号有____②④__．

210.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x＋2x．求函数g(x)的解析式．

解：设函数yfx的图象上任意一点Qx0,y0关于原点的对称点为Px,y，

x0x0,x0x,2即则

yyyy.00,02∵点Qx0,y0在函数yfx的图象上

∴yx2x，即yx2x,

故gxx2x．

222x11.（1）设f(e)x1，求函数f(x)的解析式；

2（2）已知f(1cosx)sinx，求函数f(x)的解析式．

x解：（1）设et,(t0)，则xlnt，f(t)lnt1，故f(x)lnx1(x0)．

（2）设1cosxt，21cosx1，则01cosx2，0t2．

2222得cosxt1，sinx1cosx1(t1)2tt，f(x)2xx(0x2)．

12.已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x．

（Ⅰ）若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；

（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)= x0，求函数f(x)的解析表达式．

解：（Ⅰ）因为对任意xR，有f(f(x)－x2 + x)=f(x)－x2 +x，所以f(f(2)－22+2)=f(2)－22+2. 又由f(2)=3，得f(3－22+2)=3－22+2，即f(1)=1．

若f(0)=a，则f(a－02+0)=a－02+0，即f(a)=a. （Ⅱ）因为对任意xR，有f(f(x)－x2 + x)=f(x)－x2 +x，

又因为有且只有一个实数x0，使得f(x0)=x0. 所以对任意xR，有f(x)－x2 +x= x0. 2在上式中令x= x0,有f(x0)－x0

+ x0= x0, 2又因为f(x0)=x0，所以x0－x0=0，故x0=0或x0=1. 若x0=0，则f(x)－x2 +x=0，即f(x)= x2

–x. 但方程x2

–x=x有两个不同实根，与题设条件矛盾，故x2≠0．

若x2=1，则有f(x)－

x2 +x=1，即f(x)= x2

–x+1．易验证该函数满足题设条件．

综上，所求函数为f(x)= x2

–x+1（xR）．