实习作业PPT及专用教学设计内容

数学 学科“一月一优课”教学设计

第

1

（单元）第

3

（课）第

2

课时

设计者：彭自强

课

题

函数奇偶性质的运用

1.掌握用奇偶性求解析式的方法；

2.进一步加深对函数的奇偶性概念的理解. 3.利用函数的奇偶性求函数的单调性. 对函数的奇偶性推广的运用

教学目标

教学重难点

教材分析

1.之前学习了函数奇偶性的概念；

偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 其性质是：函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上. (2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. 其性质是：函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)图象上.

2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法；

两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，

如果都有f(－x)＝－f(x)·f(－x)＋f(x)＝0·f(x)为奇函数；

如果都有f(－x)＝f(x)·f(－x)－f(x)＝0·f(x)为偶函数. 两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；

函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.

教学过程

一、问题导学 知识点一

用奇偶性求解析式

回顾思考：函数f(x)在区间[a，b]上的解析式与该区间函数图象上的点(x，y)有什么关系？

答案：

点的坐标应满足解析式y＝f(x). 一般地，求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式.如果该等式同时满足两个条件：①定义域符合要求；②图象上任意一点均满足该式. 如果知道函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间[－b，－a]上任一点(x，y)，通过关于原点(或y轴)的对称点(－x，－y)(或(－x，y))满足的关系式间接找到(x，y)所满足的解析式.

知识点二

奇偶性与单调性

1思考

观察偶函数y＝x2与奇函数y＝x在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？、1答案

偶函数y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y＝x在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同. 一般地，(1)奇函数f(x)在(a，b)和(－b，－a)上具有相同的单调性

.

(2)偶函数f(x)在(a,b)和（-b,-a）)上具有相反的单调性

知识点三

奇偶函数的对称

思考

－x＋x2＝0，(1)f(－x)＝－f(x)⇔f－x＋fx2＝0

.

⇔y＝f(x)关于(0,0)对称；

a－x＋a＋x2＝a，

那么f(a－x)＝－f(a＋x)⇔fa－x＋fa＋x＝02－x＋x＝0，(2)f(－x)＝f(x)⇔2f－x＝fxa－x＋a＋x＝a，2x)⇔fa－x＝fa＋x答案（a,0）

x=a

⇔y＝f(x)关于________对称；

⇔y＝f(x)关于直线x＝0对称；那么f(a－x)＝f(a＋

⇔y＝f(x)关于直线________对称. 二、精题讲解

类型一

用奇偶性求解析式

例1

(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式；

(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝解（1）

设x<0，则－x>0，

∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，

又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，

∴当x<0时，f(x)＝－x－1. (2)∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，

11由f(x)＋g(x)＝.

① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝，

x－1－x－111∴f(x)－g(x)＝，

② (①＋②)÷2，得f(x)＝2；

－x－1x－1(①－②)÷2，得g(x)＝跟踪训练1

(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x，求f(x)的解析式；

(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.

类型二

奇偶性对单调性的影响

例2

设f(x)是偶函数，在区间[a，b]上是减函数，试证f(x)在区间[－b，－a]上是增函数. 证明

设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x1＜x2. ∵－b≤x1＜x2≤－a，∴a≤－x2＜－x1≤b. ∵f(x)在[a，b]上是减函数，

∴f(－x2)＞f(－x1).∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，

∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1). ∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)＜f(x2). ∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数. 跟踪训练2：

已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)＜0. 类型三

对称问题

x. x2－11，求函数f(x)，g(x)的解析式.

x－1

例3

定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝x，试画出f(x)的图象. 解

∵f(x)是奇函数，∴f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，

∴f(x)关于直线x＝－2对称. 反复利用f(x)关于原点对称又关于直线x＝－2对称，

可画出f(x)的图象如图：

跟踪训练3

定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝x.试画出

f(x)的图象. 三、课堂总结

1.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称. 2.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数. (2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论. 3.具有奇偶性的函数的单调性的特点：

(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性. (2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性. 四、课后作业

已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求证：f(x)是奇函数；

(2)如果x∈R，f(x)<0，并且f(1)＝，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值

＋12

组内交流反思：