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函数对称性在解题中的应用

直击高考：函数的对称性是函数的一个重要性质，也是高考考查的重点与热点；图像的对称关系充分体现数形结合的思想，理解函数的对称性，会用函数的对称性解决相关问题是我们学习的重点。

基础知识梳理：

1.函数图像的三种变换：(1)平移变换

(2)对称变换．(3)伸缩变换

y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于y轴对称；

y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于x轴对称；

y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于原点对称；

y＝|f(x)|的图像可将y＝f(x)的图像在x轴下方的部分折到x轴上方，其余部分不变而得到；

y＝f(|x|)的图像可先作出y＝f(x)当x≥0时的图像，再作关于y轴的对称．

2.几个重要结论

(1)若f(m+x)＝f(m-x)恒成立，则y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称．

(2)设函数y＝f(x)定义在实数集上，则函数y＝f(x-m)与y＝f(m-x)(m>0)的图像关于直线x＝m对称．

(3)若f(a+x)＝f(b-x)，对任意x∈R恒成立，则y＝f(x)的图像关于x＝

对称．

(4)函数y＝f(a+x)与函数y＝f(b-x)的图像关于x＝

对称

例1.（1）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x时，f(x)xx，则f()（A）(B)（Ｃ）１（Ｄ）３log2x（2）设函数f（x）=x0,logx0若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是1x2（A）1,0(0,1)（Ｂ）,11,来源学科网（Ｃ）1,01,（Ｄ）,10,1

练习：（1）.(2015·浙江)函数f(x)＝(x－1x)cosx(－π≤x≤π且x≠0)的图像可能为()

（2）.函数ycos6x2x2x的图象大致为（3）.（2009辽宁）已知函数f(x)=Acos(x)的图象如图所示，f()223，则f(0)=（A）213(B)23(C)－12(D)2wwwk.uo.m例2（.1）已知f(x)(x1)2sinxx21,则f(2018)f(2018)______.

（2）若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.练习：（1）．设函数f(x)x3cosx1.若f(a)11，则f(a)．（2）．对于函数f(x)asinxbxc(其中，a,bR,cZ)，选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正确结果一定不可能是．．．．．．A．4和6B．3和1C．2和4D．1和2

（3）.若函数f(x)＝1＋2x＋12x＋1＋sinx在区间[－k，k](k＞0)上的值域为[m，n]，则m＋n的值是()A．0B．1C．2D．4

（4）设f(x)＝4x1220144x＋2，若S＝f(2015)＋f(2015)＋…＋f(2015)，则S＝________．

例3.已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为（x1,y1），(x2,y2)，…，（xm,ym），则mxi=（）i1(A)0(B)m(C)2m(D)4m练习：（1）.（2016年高考）已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数yx1x与yf(x)图像的交点为m(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym),则(xiyi)（）i1（A）0（B）m（C）2m（D）4m

（2）.(2009山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1x2x3x4_________.作业：1．（2013年）设函数f(x)的定义域为R,x0(x00)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是（A．xR,f(x)f(x0)B．x0是f(x)的极小值点C．x0是f(x)的极小值点D．x0是f(x)的极小值点

2．（2017年）已知函数f(x)lnxln(2x)，则A．f(x)在（0,2）单调递增B．f(x)在（0,2）单调递减C．y=f(x)的图像关于直线x=1对称D．y=f(x)的图像关于点（1,0）对称

3.（辽宁卷12）设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则满足f(x)fx3x4的所有x之和为（）A．3B．3C．8D．84.设函数f(x)(xR)满足f(x)=f(x)，f(x)=f(2x)，且当x[0,1]时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos(x)|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在[12,32]上的零点个数为(A)5(B)6(C)7(D)85.（2009全国卷Ⅰ理）函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则((A)f(x)是偶函数(B)f(x)是奇函数(C)f(x)f(x2)(D)f(x3)是奇函数）)