小结国家获奖教案

§2.3 基本初等函数

一、知识导学

1.

二次函数的概念、图像和性质. （1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式f(x)ax2bxc二次函数的顶点式f(x)a(xm)2n二次函数的坐标式f(x)a(xx1)(xx2)(a0)

(a0)和

(a0)

（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根的范围等）要充分利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解. ①f(x)ax2bxc(a0)，当b24ac0时图像与x轴有两个交点. M（x1,0）N(x2,0),|MN|=| x1- x2|=. |a|②

二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得.

x2.指数函数ya(a0,a1)和对数函数ylogax(a0,a1)的概念和性质. （1）有理指数幂的意义、幂的运算法则：

①aaamnmn；②(am)namn；③(ab)nanbn（这时m,n是有理数）

对数的概念及其运算性质、换底公式. loga(MN)logaMlogaN;logaMnnlogaM;logaMlogaMlogaN

NloganMlogcb1logaM；

logab

nlogca

（2）指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点. ①指数函数图像永远在x轴上方，当a＞1时，图像越接近y轴，底数a越大；当01时，图像越接近x轴，底数a越大; 当0

3.幂函数yx的概念、图像和性质. 结合函数y=x,y=x,y=x,y=yx,yx,y=x的图像，了解它们的变化情况. ①＞0时，图像都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数；

注意＞1与0<＜1的图像与性质的区别. ②＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限内，图像向上无限接近y轴，向右无限接近x轴.

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2 31212

③当x>1时，指数大的图像在上方. 二、疑难知识导析

1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像.二次函数的对称轴与区间的位置通常有三种情况：（1）定义域区间在对称轴的右侧；（2）定义域区间在对称轴的左侧；（3）对称轴的位置在定义域区间内

2.幂的运算性质、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些运算性质防止出现下列错误：

（1）式子nan＝a，

（2）loga(MN)logaMlogaN;loga(MN)logaMlogaN

3.利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值.

4.函数yaf(x)的研究方法一般是先研究f(x)的性质，再由a的情况讨论yaf(x)的性质. x

5.对数函数ylogax(a0,a1)与指数函数ya(a0,a1)互为反函数，会将指数式与对数式相互转化.

6.幂函数yx的性质，要注意的取值变化对函数性质的影响. （1）当奇偶奇时，幂函数是奇函数；（2）当时，幂函数是偶函数；（3）当时，奇奇偶定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数.

三、经典例题导讲

[例1]已知log189a,18b5,求log3645

错解：∵185,∴log185b

∴log3645blog1845log185log189ba

log1836log184log189log184a错因：因对性质不熟而导致题目没解完. 正解：∵185,∴log185b

∴log3645blog1845log185log189log1836log184log189bababa

182182alog18()a2log18()a992[例2]分析方程f(x)axbxc0（a0）的两个根都大于1的充要条件. 2错解：由于方程f(x)axbxc0（a0）对应的二次函数为

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f(x)ax2bxc的图像与x轴交点的横坐标都大于1即可. f(1)0f(1)0

故需满足b，所以充要条件是b

112a2a错因：上述解法中，只考虑到二次函数与x轴交点坐标要大于1，却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图像与x轴有交点才行，即满足△≥0，故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件. f(1)0b正解：充要条件是

12a2b4ac0[例3]求函数y36x126x5的单调区间. 错解：令6t，则y36x126x5＝t12t5

∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，

当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数

∴函数y36x126x5的单调递减区间是(,6]，单调递增区间为[6,)

错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围. 正解：令6t，则t6为增函数，

xxx2y36x126x5＝t212t5＝(t6)241

∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，

当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数

∴函数y361265的单调递减区间是(,1]，单调递增区间为[1,)

[例4]已知yloga(2ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是

错解：∵yloga(2ax)是由ylogau，u2ax复合而成，又a＞0

∴u2ax在[0，1]上是x的减函数，由复合函数关系知

xxylogau应为增函数，∴a＞1 错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义. 正解：∵yloga(2ax)是由ylogau，u2ax复合而成，又a＞0

∴u2ax在[0，1]上是x的减函数，由复合函数关系知

ylogau应为增函数，∴a＞1

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又由于x

在[0，1]上时

yloga(2ax)有意义，u2ax又是减函数，∴x＝1时，u2ax取最小值是umin2a＞0即可，

∴a＜2 综上可知所求的取值范围是1＜a＜2 [例5]已知函数f(x)loga(3ax). （1）当x[0,2]时f(x)恒有意义，求实数a的取值范围. （2）是否存在这样的实数a使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由. 分析：函数f(x)为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明. 解：（1）由假设，3ax＞0，对一切x[0,2]恒成立，a0,a1

显然，函数g(x)= 3ax在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a＞0得到a＜∴a的取值范围是（0，1）∪（1，3

23）

2(2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)1，即f(1)loga(3a)＝1 ∴a＝33此时f(x)loga(3x)

22当x2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在. 点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决. 12x4xa[例6]已知函数f(x)=lg, 其中a为常数，若当x∈(－∞, 1］时, f(x)有意义，2aa1求实数a的取值范围. 分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”. 12312x4xa2解：>0, 且a－a+1=(a－)+>0, 224aa111), 4x2x11当x∈(－∞, 1]时, y=x与y=x都是减函数，

42∴ 1+2+4·a>0, a>(xx

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31111)()在(－∞, 1]上是增函数，, max=－44x2x4x2x33∴

a>－, 故a的取值范围是(－, +∞). 44∴

y=(

点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y=(的取值范围.此法也叫主元法.

[例7]若(a1)1311)的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a4x2x(32a)1313，试求a的取值范围. 解：∵幂函数yx有两个单调区间，

∴根据a1和32a的正、负情况，有以下关系

a10a10a1032a0.32a0.①

②

.③

32a0a132aa132a23＜a＜，②无解，③a＜－1 3223∴a的取值范围是（－∞，－1）∪（，）

32解三个不等式组：①得点评：幂函数yx13有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为a132a，从而导致解题错误. [例8]

已知a>0 且a≠1 ,f (log a x ) = a1 (x － ) xa21 (1)求f(x)；

(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；

2 (3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m ) < 0 ,求m的集合M . 分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问. 解：(1)令t=logax(t∈R)，则

xat,f(t)(2)f(x)aatt(aa),f(x)(axax),(xR).

22a1a1aaxx(aa)f(x),且xR,f(x)为奇函数.当a1时,0,

a21a21u(x)axax为增函数,当0a1时,类似可判断f(x)为增函数.综上,无论a1或0a1,f(x)在R上都是增函数. (3)f(1m)f(1m2)0,f(x)是奇函数且在R上是增函数,f(1m)f(m21).又

x(1,1)

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11m11m2111m2.

1mm21点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f（x）的表达式可求出m的取值范围，请同学们细心体会. 四、典型习题导练

1. 函数f(x)axb的图像如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）

A.a1,b0

B.a1,b0

D.0a1,b0

C.0a1,b0

（05年高考福建试题）

2、已知2lg(x－2y)=lgx+lgy,则x的值为（ ）

y A.1 B.4 C.1或4 D.4 或 8 3、方程loga(x1)x22 (0

A.0 B.1 C.2 4、函数f(x)与g(x)=(

A.0, B.,0 nD.3 1x2)的图像关于直线y=x对称,则f(4－x)的单调递增区间是2( ）

C.0,2 D.2,0

125、图中曲线是幂函数y＝x在第一象限的图像，已知n可取±2，±四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为( )

1111A.－2，－，，2 B．2，，－，－2

22221111C. －，－2,2， D. 2，，－2, －

22226.

求函数y = log 2 (x

－5x+6) 的定义域、值域、单调区间.

27. 若x满足2(log1x)14log4x30 ,求f(x)=log222xlog22x最大值和最小值. 28.已知定义在R上的函数f(x)2xa,a为常数

2x（1）如果f(x)＝f(x)，求a的值；

（2）当f(x)满足（1）时，用单调性定义讨论f(x)的单调性.

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