习题2.1优质教案设计

课

题

第五节

指数与指数函数

计划课时 4 节

1.了解指数函数模型的实际背景．

教2.理解有理数指数幂的定义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

学目3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．

标

4.知道指数函数是一类重要的函数模型．

教学重点

教学难点

教学方法

理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．

理解有理数指数幂的定义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

讲练结合法

教学内容及教学过程

1．根式的概念

.

如果xn＝a，那么x叫作a的n次方根

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数

2.两个重要公式

a，n为奇数，nnaa≥0，(1)a＝|a|＝－aa<0，n±a

(a>0)

na 符号表示

备

注

n>1且

n∈N＋

零的n次

方根是零

负数没有

偶次方根

n为偶数；

nn(2)(a)n＝a(注意a必须使a有意义)．

必记结论

在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．

3．指数函数的图象与性质

0

a>1

图象

定义域：R

值域：(0，＋∞) 性质

当x＝0时，y＝1，即过定点(0,1) 当x>0时，0

当x<0时，y>1

在R上是减函数

当x>0时，y>1；

当x<0时，0

必记结论

1.画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a)，(0,1)，1－1，a. 2．底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0

3.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0

4．指数函数的图象向左(或向右)平移不会与x轴有交点，向上(或向下)平移a个单位后，图象都在直线y＝a(或y＝－a)的上方．

考点一

指数幂的运算

1．求值与化简：

30－21224(1)5＋2·5(2)6a·b－2·(－3a－(0.01)0.5；

b－1)÷(4a·b－3)；

1412111161解析：(1)原式＝1＋4×9－100＝1＋4×3－10＝1＋6－10＝15. 

考点二

指数函数图象及应用

2．(1)函数f(x)＝2|x－1|的图象是(

)

2x－1，x≥1，解析：f(x)＝1x－1，x<1，2答案：B (2)(2017·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．

故选B.

答案：[－1,1] 考点三

指数函数的性质及应用

高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属于低档题．归纳起来，常见的命题探究角度有：

(1)比较指数式大小．

(2)与指数有关的函数的值域(最值)问题．

(3)与指数有关的函数单调性问题．

(4)与指数函数有关的不等式问题．

命题点1

比较指数式大小

3．(2017·滕州一中模拟)下列各式比较大小正确的是(

) A．1.72.5>1.73

C．0.8－0.1>1.250.2

B．0.6－1>0.62

D．1.70.3<0.93.1

解析：A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，

2．5<3，∴1.72.5<1.73. B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，

∴0.6－1>0.62. C中，∵0.8－1＝1.25，

∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．

∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，

∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2. D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1. 答案：B 命题点2

与指数有关的函数的值域(最值)问题

14．已知0≤x≤2，则y＝4x－2－3·2x＋5的最大值为________．

解析：令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，

111－又y＝22x1－3·2x＋5，∴y＝2t2－3t＋5＝2(t－3)2＋2，

5∵1≤t≤4，∴t＝1时，ymax＝2. 5答案：2

命题点3

与指数有关的函数单调性问题

15．(1)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝9，则f(x)的单调递减区间是(

) A．(－∞，2]

C．[－2，＋∞)

B．[2，＋∞) D．(－∞，－2] 11111|2x－4|2解析：由f(1)＝，得a＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝3.由于y9933＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B. 答案：B (2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．

mm解析：令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间2，＋∞上单调递增，在区间－∞，2上单调递减，而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)m上单调递增，则有2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．

答案：(－∞，4] 命题点4

与指数函数有关的不等式问题

6．(2017·绍兴模拟)设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝(

) A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2} 解析：f(x)为偶函数，

当x<0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.

x2－4，x≥0，∴f(x)＝－x

2－4，x<0，

当f(x－2)>0时，

x－2≥0，有x－2

2－4>0，x－2<0，或－x＋2

－4>0，2解得x>4或x<0. 答案：B

1．根式的概念

.

板

书

如果xn＝a，那么x叫作a的n次设

方根

计

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数

2.两个重要公式

n±a

(a>0)

符号表示

备

注

n>1且

n∈N＋

零的n次

na 方根是零

负数没有

偶次方根

a，n为奇数，nnaa≥0，(1)a＝|a|＝－aa<0，

n为偶数；

nn(2)(a)n＝a(注意a必须使a有意义)．

3．指数函数的图象与性质

图象

定义域：R

值域：(0，＋∞) 性质

当x＝0时，y＝1，即过定点(0,1) 当x>0时，0

当x<0时，y>1

在R上是减函数

当x>0时，y>1；

当x<0时，0

0

a>1