小结教学设计

高一数学集合的小结(必修1A版）

一、、知识点：

本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。

本

章

知

识

结

构

集合的概念

列举法

集合的表示法

集合

特征性质描述法

真子集

包含关系

集合与集合的关系

交集

集合的运算

并集

补集

1、集合的概念

集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。

对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。

整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。

确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。

不同的――集合元素的互异性。

2、有限集、无限集、空集的意义

有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。

我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。

几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。

3、集合的表示方法

（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：

①元素不太多的有限集，如{0，1，8} ②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，…，100}

③呈现一定规律的无限集，如

{1，2，3，…，n，…} ●注意a与{a}的区别

●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。

（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y＝x2}，

{y|y＝x2}，

{（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合。

4、集合之间的关系

●注意区分“从属”关系与“包含”关系

“从属”关系是元素与集合之间的关系。

子集

相等

“包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。

●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。

5、集合的运算

集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。

一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质：

ACUAUABBAAAAABBAAAAACUACU(CUA)AABACUBBCUAU

AAAAAABABA

ABABB

还要尝试利用Venn图解决相关问题。

二、典型例题

例1. 已知集合A{a2,(a1),a3a3}，若1A，求a。

22a21,或（a1）1,或a3a31

1A根据集合元素的确定性，解：得：2若a＋2＝1，

得:a1，

但此时a3a31a2，不符合集合元素的互异性。

22若(a1)1，得：a0,或-2。但a2时，a3a31(a1)，不符合集合元素的互异性。

若a3a31,得：a1,或－2。

2222但a-1时,a21;a-2时，(a1)21，都不符合集合元素的互异性。

综上可得，a ＝

0。

【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。

2x10中只含有一个元素，求a的值。

2解：集合M中只含有一个元素，也就意味着方程ax2x10只有一个解。

1x2x10，只有一个解2

（1）a0时,方程化为（2）

a0时,若方程ax2x10只有一个解

2例2. 已知集合M＝xR|ax2需要44a0,即a1. 综上所述，可知a的值为a＝0或a＝1 【小结】熟悉集合语言，会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求，另外多体会知识转化的方法。

例3. 已知集合A{x|xx60},B{x|ax10},且BA，求a的值。

解：由已知，得：A＝{－3，2}，

若BA，则B＝Φ，或{－3}，或{2}。

若B＝Φ，即方程ax＋1＝0无解，得a＝0。

21若B＝{－3}，

即方程ax＋1＝0的解是x ＝

－3，

得a ＝

3。

1若

B＝{2}，

即方程ax＋1＝0的解是x ＝

2，

得a ＝

2。

11综上所述，可知a的值为a＝0或a＝3，或a ＝

2。

【小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤。

2例4. 已知方程xbxc0有两个不相等的实根x1，

x2. 设C＝{x1，

x2}，

A＝{1，3，5，7，9}，

B＝{1，4，7，10}，若AC,CBC，试求b，

c的值。

解：由CBCCB，

那么集合C中必定含有1，4，7，10中的2个。

又因为AC，则A中的1，3，5，7，9都不在C中，从而只能是C＝{4，10} 因此，b＝－（x1＋x2 ）＝－14，c＝x1 x2 ＝40 【小结】对AC,CBC的含义的理解是本题的关键。

例5. 设集合A{x|2x5},B{x|m1x2m1}，

（1）若AB，

求m的范围；

（2）若ABA，

求m的范围。

解：（1）若AB，则B＝Φ，或m＋1>5，或2m－1<－2 当B＝Φ时，m＋1>2m－1，得：m<2 当m＋1>5时，m＋1≤2m－1，得：m>4 当2m－1<－2时，m＋1≤2m－1，得：m∈Φ

综上所述，可知m<2，

或m>4 （2）若ABA，

则BA，

若B＝Φ，得m<2 m122m15m12m1

若B ≠ Φ，则，得：2m3

综上，得

m ≤ 3

【小结】本题多体会分析和讨论的全面性。

例6. 已知A＝{0，1}，

B＝{x|xA}，用列举法表示集合B，并指出集合A与B的关系。

解：因为xA，所以x ＝

Φ，

或x ＝

{0}，

或x ＝

{1}，

或x ＝

A，

于是集合B ＝

{ Φ，

{0}，

{1}，

A}，

从而

A∈B

三、练习题

1. 设集合M＝{x|x17},a42,则（

）

A. aM

B. aM

C. a ＝

M

D. a > M 2. 有下列命题：①{}是空集

②

若aN,bN，则ab2③

集合{x|x22x10}有两个元素

④

集合B{x|100N,xZ}x为无限集，其中正确命题的个数是（

）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3 3. 下列集合中，表示同一集合的是（

）

A. M＝{（3，2）} ，

N＝{（2，3）} B. M＝{3，2} ，

N＝{（2，3）}

C. M＝{（x，y）|x＋y＝1}，

N＝{y|x＋y＝1} D.M＝{1，2}，

N＝{2，1} },N{aa4,2a1}，若MN{2}，

则a的取值集4. 设集合M{2,3,a1合是（

）

1{3,2,}2

A.

A. a2

221{3,}2

B. {－3}

C. D. {－3，2} 5. 设集合A ＝

{x| 1 < x < 2}，

B ＝

{x| x < a}，

且AB，

则实数a的范围是（

）

B. a2

C. a1

D. a1

6. 设x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}，

B＝

A. AB

B. BA

C. A＝B

D. AB 7. 已知M＝{x|y＝x2－1} ，

N＝{y|y＝x2－1}，

那么M∩N＝（

）

A. Φ

B. M

C. N

D. R 8. 已知A ＝

{－2，－1，0，1}，

B ＝

{x|x＝|y|，y∈A}，

则集合B＝_________________ 9. 若A{x|x3x20},B{x|xaxa10},且BA，则a的值为_____ 10. 若{1，2，3}A{1，2，3，4，5}，

则A＝____________ 11. 已知M＝{2，a，b}，

N＝{2a，2，b2}，且M＝N表示相同的集合，求a，b的值

22A{x|x4xp0},B{x|xx20}且AB,求实数p的范12. 已知集合22{(x,y)|y1}x，

则集合A，B的关系是（

）

围。

222A{x|xaxa190},B{x|x5x60}，且A，B满足下列三13. 已知个条件：①

AB

②

ABB

③

ΦAB，求实数a的值。

四、练习题答案

1. B

2. A 3. D 4. C 5. A 6. B 7. C

8. {0，1，2} 9. 2，或3 10. {1，2，3}或{1，2，3，4}或{1，2，3，5}或{1，2，3，4，5} a2a2aaba0a0b2b2a11. 解：依题意，得：bb或，解得：b0，或b1，或aa0bb1

结合集合元素的互异性，得或12. 解：B＝{x|x<－1，

或x>2}

①

若A ＝

Φ，即

164p0，满足AB，此时p4

1412

1412。

②

若A，要使AB，须使大根24p1或小根24p2（舍），解得：3p4

所以

p3

13. 解：由已知条件求得B＝{2，3}，由ABB，知AB。

而由

①知AB，所以AB。

又因为ΦAB，故A≠Φ，从而A＝{2}或{3}。

222

当A＝{2}时，将x＝2代入xaxa190，得42aa190a3或5

经检验，当a＝

－3时，A＝{2，

－

5}; 当a＝5时，A＝{2，3}。都与A＝{2}矛盾。

22当A ＝

{3}时，将x＝3代入xaxa190，得

经检验，当a＝

－2时，A＝{3，

－

5}; 当a＝5时，A＝{2，3}。都与A＝{2}矛盾。

综上所述，不存在实数a使集合A，

B满足已知条件。

93aa2190a2或5